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2005-10001-0201
2005 北海道大学 後期
理系学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) すべての整数 m に対して p ⁢m m2 −m −1 がつねに整数となるような定数 p を求めよ.
(2) a ,b を定数として整式 f ⁡( x) を
f⁡( x)= x4 +a⁢ x2 +b⁢ x−a −2
によって定義する.すべての整数 m に対して f⁡ (m) m2 −m −1 がつねに整数となるための必要十分条件を a ,b を用いて表せ.
2005-10001-0202
【2】 f⁡( x) は x≧ 0 で単調に減少する連続関数とする.
(1) すべての x >0 に対して, f⁡ ( x)< 1 x ⁢ ∫0 x ⁡f ⁡( t) ⁢d t を示せ.
(2) 関数 F ⁡( x) を
F⁡( x)= ∫0 x ⁡f ⁡( t)⁢ dt( x ≧0)
で定める. F ⁡(x )x は x> 0 で単調に減少することを示せ.
2005-10001-0203
【3】 xy 平面の原点 O を中心とする半径 4 の円 E がある.半径 1 の円 C が,内部から E に接しながらすべることなくころがって反時計回りに一周する.このとき,円 C の周上に固定された点 P の軌跡を考える.ただし,はじめに点 P は点 (4 ,0) の位置にあるものとする.
(1) 図のように, x 軸と円 C の中心のなす角度が θ ( 0≦θ ≦2⁢ π ) となったときの点 P の座標 ( x,y ) を, θ を用いて表せ.
(2) 点 P の軌跡の長さを求めよ.
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【4】 四面体 ABCD において,辺 AB と辺 CD が垂直ならば,頂点 A から平面 BCD へ下ろした垂線と,頂点 B から平面 CDA へ下ろした垂線は交わることを示せ.