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2005 北海道大学 後期

理系学部

易□ 並□ 難□

【1】  次の問いに答えよ.

(1) すべての整数 m に対して p m m2 m 1 がつねに整数となるような定数 p を求めよ.

(2)  a b を定数として整式 f ( x)

f( x)= x4 +a x2 +b xa 2

によって定義する.すべての整数 m に対して f (m) m2 m 1 がつねに整数となるための必要十分条件を a b を用いて表せ.

2005 北海道大学 後期

理系学部

易□ 並□ 難□

【2】  f( x) x 0 で単調に減少する連続関数とする.

(1) すべての x >0 に対して, f ( x)< 1 x 0 x f ( t) d t を示せ.

(2) 関数 F ( x)

F( x)= 0 x f ( t) dt x 0

で定める. F (x )x x> 0 で単調に減少することを示せ.

2005 北海道大学 後期

理系学部

易□ 並□ 難□

2005年北海道大学後期理系学部【3】の図

【3】  xy 平面の原点 O を中心とする半径 4 の円 E がある.半径 1 の円 C が,内部から E に接しながらすべることなくころがって反時計回りに一周する.このとき,円 C の周上に固定された点 P の軌跡を考える.ただし,はじめに点 P は点 (4 ,0) の位置にあるものとする.

(1) 図のように, x 軸と円 C の中心のなす角度が θ 0θ 2 π となったときの点 P の座標 ( x,y ) を, θ を用いて表せ.

(2) 点 P の軌跡の長さを求めよ.

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理系学部

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2005年北海道大学後期理系学部【4】の図

【4】 四面体 ABCD において,辺 AB と辺 CD が垂直ならば,頂点 A から平面 BCD へ下ろした垂線と,頂点 B から平面 CDA へ下ろした垂線は交わることを示せ.



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