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2005-10010-0101
2005 旭川医科大学 後期
医学部(医学科)
易□ 並□ 難□
【1】 三角形 ABC の各辺 AB , BC ,CA 上に点 P , Q ,R を
AP AB+ BQBC+ CRCA =t ( 0<t <3 )
を満たすようにとる.三角形 ABC の面積を S とするとき,次の問いに答えよ.
問1 AP AB= x , CRCA =z とおくとき,三角形 APR の面積は, x⁢( 1−z )⁢S で表されることを示せ.
問2 三角形 PQR の面積の最大値を M ⁡(t ) とする. M⁡( t) を求めよ.
問3 M⁡(t ) の最小値を求めよ.また,そのときの点 P , Q ,R は各辺 AB , BC ,CA 上のどのような点であるか.
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【2】 f⁡(x )=2sin ⁡ (1 2⁢x )( −π <x< π ) の逆関数を g⁡ (x) ( −2<x <2 ) とするとき,次の問いに答えよ.
問1 g′⁡ (x)= 2 4− x2 であることを示せ.
問2 h⁡(x )=g⁡ (x)− g⁡(0 )−g ′⁡( 0)⁢x − 12 ⁢g″ ⁡(0) ⁢x2 − 16 ⁢g″ ⁡(0) ⁢x3 (−2 <x<2 ) は増加関数であることを示せ.
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【3】 曲線 y= x⁢ 2 x と x 軸および直線 x =n とで囲まれた領域(境界線上の点も含む)を D n( n= 1, 2 ,3 , ⋯ ) とおくとき,次の問いに答えよ.
問1 Dn の面積 A n を求めよ.
問2 Dn に含まれる格子点の個数 B n を求めよ.ここで格子点とは, x 座標と y 座標がともに整数である点を意味する.
問3 limn →∞ ⁡ Bn An を求めよ.
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【4】 a ,b ,c を複素数とする 3 次方程式 z 3+a ⁢z2 +b⁢ z+c= 0 の 3 つの解が,複素数平面上でちょうど正三角形 K の 3 つの頂点になっているとする. K の重心を m とするとき,次の問いに答えよ.
問1 a ,b を m で表せ.
問2 K の 2 つの頂点がちょうど実軸上にあるとき, c を m で表せ.
問3 K の外接円の半径を r とする. | a| <2 , |c |> 2 のとき, r>1 であることを示せ.