2005　埼玉大学　前期(理学部(数学科))MathJax

【１】　$n$を自然数とし，さいころを使った次のようなゲーム$({\mathrm{G}}_n)$を考える．

$({\mathrm{G}}_n):\begin{array}{l}\text{さいころを}1\text{回は必ず振り，最高}n\text{回まで振ることができる．}\\ \text{最後に出た目を得点とする．}\end{array}$

　ゲーム$({\mathrm{G}}_1)$はさいころをちょうど$1$回振るゲームであるから，ゲーム$({\mathrm{G}}_1)$を行って得られる得点の期待値は$\boxed{\text{A}}$である．ゲーム$({\mathrm{G}}_n)\text{（}n\geqq 2\text{）}$については，得点の期待値を大きくするため，次のような戦略でゲームを行うことにする．

　まず，ゲーム$({\mathrm{G}}_2)$では，$1$回目に出た目が$\boxed{\text{A}}$以上ならばそこでやめ，$\boxed{\text{A}}$未満ならばもう一度振る．この戦略にしたがってゲーム$({\mathrm{G}}_2)$を行って得られる得点の期待値は

${\displaystyle 4\times \frac{1}{6}+5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}+\boxed{\text{A}}\times \boxed{\alpha }=}\boxed{\text{B}}$

である．次に，ゲーム$({\mathrm{G}}_3)$では，$1$回目に出た目が$\boxed{\text{B}}$以上ならばそこでやめ，$\boxed{\text{B}}$未満ならば$2$回目を振るが，その$2$回目以降の戦略はゲーム$({\mathrm{G}}_2)$の戦略にしたがう．つまり，$2$回目に出た目が$\boxed{\text{A}}$以上ならばそこでやめ，$\boxed{\text{A}}$未満ならば$3$回目を振る．この戦略にしたがってゲーム$({\mathrm{G}}_3)$を行って得られる得点の期待値は

${\displaystyle 5\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{6}+\boxed{\text{B}}\times \boxed{\beta }}=\boxed{\text{C}}$

である．

　このように，ゲーム$({\mathrm{G}}_k)$の戦略が定まっていて，その戦略にしたがってゲーム$({\mathrm{G}}_k)$を行って得られる得点の期待値が$E_k$であるとき，ゲーム$({\mathrm{G}}_{k+1})$では，$1$回目に出た目が$E_k$以上ならばそこでやめ，$E_k$未満ならば$2$回目を振るが，その$2$回目以降の戦略はゲーム$({\mathrm{G}}_k)$の戦略にしたがう．

　ゲーム$({\mathrm{G}}_n)$の戦略は以上のようにして帰納的に定まる．この戦略にしたがってゲーム$({\mathrm{G}}_n)$を行って得られる得点の期待値を$E_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　上の文章の$\boxed{\text{A}}\text{，}\boxed{\text{B}}\text{，}\boxed{\text{C}}\text{，}\boxed{\alpha }\text{，}\boxed{\beta }$にあてはまる数を求めよ．

(2)　$E_4\text{，}{E}_5$を求めよ．

(3)　$E_n\text{（}n\geqq 6\text{）}$を求め，さらに$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n$を求めよ．

【２】　$xy$平面上の放物線$C:y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(a,b)$が$C$の異なる$2$本の接線の交点となるための条件は$a^2+2b>0$であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}(0,b)\text{（}b>0\text{）}$を通る$C$の異なる$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし，$\angle \mathrm{QPR}=\theta$とおく$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$．このとき，$\cos \theta$を$b$を用いて表せ．

(3)　次の条件を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

条件：	点$\mathrm{P}$を通る$C$の異なる$2$本の接線が存在し，それぞれの接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とおくとき，$\angle \mathrm{QPR}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．

【３】　$e$を自然対数の底とし，次のような関数を考える．

$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}|t\log t-t|dt\text{（}{\displaystyle \frac{e}{2}}\leqq x\leqq e\text{）}$

　次の問いに答えよ．ただし，$0.6<\log 2<0.7$であることは用いてよい．

(1)　$F(x)$の導関数$F^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$F(x)$を細小にする$x$の値を求めよ．

(3)　$F(x)$を最大にする$x$の値を求めよ．