2005　埼玉大学　前期(工学部(機械工学科))MathJax

【１】(1)　次式が成り立つ場合について以下の問いに答えよ．

$P^{\mathrm{-1}}AP=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

　ただし，$A=\left(\begin{array}{cc}2& \mathrm{-1}\\ 1-a& a\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1-a\end{array}\right)\text{，}a\ne 0$とする．

　$a$の値を求めよ．

(2)　(1)の場合，$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^n$を求めよ．

【２】 (1)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int \frac{{(x-1)}^2(3x-1)}{x^2}dx}$

(2)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int \frac{4x^3-6x+9}{x^4-3x^2+9x+10}dx}$

【３】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における位置の座標を$(x,y)$とすると，点の運動は次のような関数で表される．このとき，次の問いに答えよ．

$\{\begin{array}{l}x=a{t}^2\\ y=2at\end{array}$ただし，$y\geqq 0\text{，}t>0\text{，}a$は定数とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡$C$を求めよ．

(2)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル，加速度ベクトルを求めよ．

(3)　$x$軸上に点$\mathrm{B}(b,0)$がある．点$\mathrm{P}$の速度ベクトルと$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積が$0$のときの点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{Q}$とする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{Q}$との距離を求めよ．ただし，$b>2a$とする．

(4)　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を直線$l$とする．また，点$\mathrm{Q}$における軌跡$C$の接線と平行で，かつ点$(0,\mathrm{-2})$を通る直線を直線$k$とする．このとき，直線$l$と直線$k$の交点の座標を求めよ．ただし，$b=6\text{，}a=1$とする．

【４】　製品$1$個を製造した際に，不良品である確率を不良品率という．製品$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$の不良品率をそれぞれ$x\%\text{，}y\%\text{，}z\%$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x=20$のとき，製品$\mathrm{X}$を$3$個製造した際に良品が少なくとも$1$個含まれる確率を求めよ．

(2)　製品$\mathrm{X}$を$2$個製造した際に，不良品が$1$個だけ含まれる確率が$48\%$以下となるような$x$の値の範囲を定めよ．

(3)　$y=10\text{，}z=20$のとき，製品$\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$をそれぞれ$2$個製造した際に，全体で不良品が$1$個だけ含まれる確率を求めよ．

(4)　製品$\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$のそれぞれ良品だけを選び出し，製品$\mathrm{Y}$を$7$個，$\mathrm{Z}$を$5$個，箱に詰めた．その箱から無作為に$3$個を同時に取り出したとき，$3$個とも製品$\mathrm{Y}$である確率を求めよ．

【５】　次の不等式で表される領域を$D$とする．

$|x^2-1|+|y+2|\leqq 1$

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

【６】　次の定積分の値を(1)から(3)の場合に対して求めよ．ただし，$a\text{，}b$は定数とする．

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}(a+b\cos x)\cos (nx)dx$

(1)　$n=0$のとき．

(2)　$n=1$のとき．

(3)　$n$が$2$以上の整数のとき．