2005　千葉大学　先進科学プログラム入学者選考課題MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$x^4-5x^2+6=0$の解をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$0<\theta <360°$のとき$\cos 2\theta =3\sin \theta -1$を満たす角度$\theta$をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$f(p)=-p{\log }_{2}p-(1-p){\log }_2(1-p)$のとき，${\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　$y=x^2-ax-a+3$が$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるとき，$a$がとりうる値の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(6)　$f(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x-1$の最小値を求めなさい．

【２】　図のように$▵\mathrm{ABC}$の各辺の中点を結んで$▵\mathrm{DEF}$を作る．次に$▵\mathrm{DEF}$の各辺の中点を結んで$▵\mathrm{GHI}$を作る．以下同じようにして無限に三角形を作る．$▵\mathrm{ABC}$の三辺の長さがそれぞれ$3cm\text{，}4cm\text{，}5cm$のとき，これらの三角形の周の長さの総和と面積の総和を求めなさい．

【３】　図のように$y$軸上に中心を持つ半径$1$の円と放物線$y=x^2$が$2$点で接している．このとき，円と放物線で囲まれた部分の面積を求めなさい．