2005　東京大学　前期MathJax

【１】　$f(x)$を$f(0)=0$をみたす$2$次関数とする．$a\text{，}b$を実数として，関数$g(x)$を次で与える．

$g(x)=\{\begin{array}{c}ax\text{（}x\leqq 0\text{）}\\ bx\text{（}x>0\text{）}\end{array}$

　$a\text{，}b$をいろいろ変化させ

${\displaystyle {\int }_{-1}^0}{\{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\}}^{2}dx+{\displaystyle {\int }_0^1}{\{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\}}^{2}dx$

が最小になるようにする．このとき，

$g(-1)=f(-1)\text{，}g(1)=f(1)$

であることを示せ．

【２】　$3$以上$9999$以下の奇数$a$で，$a^2-a$が$10000$で割り切れるものをすべて求めよ．

【３】　$0$以上の実数$s\text{，}t$が$s^2+t^2=1$をみたしながら動くとき，方程式

$x^4-2(s+t)x^2+{(s-t)}^2=0$

の解のとる値の範囲を求めよ．

【４】　$N$を$1$以上の整数とする．数字$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$が書かれたカードを$1$枚ずつ，計$N$枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

• (ⅰ)　甲が$1$枚カードをひく．そのカードに書かれた数を$a$とする．ひいたカードはもとに戻す．
• (ⅱ)　甲はもう$1$回カードをひくかどうかを選択する．ひいた場合は，そのカードに書かれた数を$b$とする．ひいたカードはもとに戻す．引かなかった場合は，$b=0$とする．
• $a+b>N$の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．
• (ⅲ)　$a+b\leqq N$の場合は，乙が$1$枚カードをひく．そのカードに書かれた数を$c$とする．ひいたカードはもとに戻す．$a+b<c$の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．
• (ⅳ)　$a+b\geqq c$の場合は，乙はもう$1$回カードをひく．そのカードに書かれた数を$d$とする．$a+b<c+d\leqq N$の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

　(ⅱ)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを，$a$の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

(1)　甲が$2$回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率を$a$を用いて表せ．

(2)　甲が$2$回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率を$a$を用いて表せ．

　ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．

【１】　$x>0$に対し$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$とする．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し$f(x)$の第$n$次導関数は，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を用いて

$f^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}}$

と表されることを示し，$a_n\text{，}{b}_n$に関する漸化式を求めよ．

(2)　$h_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}$とおく．$h_n$を用いて$a_n\text{，}{b}_n$の一般項を求めよ．

【２】　$|z|>{\displaystyle \frac{5}{4}}$となるどのような複素数$z$に対しても$w=z^2-2z$とは表されない複素数$w$全体の集合を$\mathrm{T}$とする．すなわち，

$\mathrm{T}=\left\{w\right|w=z^2-2z\text{ならば}\left|z\right|\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}\}$

とする．このとき，$\mathrm{T}$に属する複素数$w$で絶対値$\left|w\right|$が最大になるような$w$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x\{1+e^{-2(x-1)}\}$

とする．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ならば$0\leqq f^{\prime }(x)<{\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．

(2)　$x_0$を正の数とするとき，数列$\{x_n\}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{）}$を，$x_{n+1}=f(x_n)$によって定める．$x_0>{\displaystyle \frac{1}{2}}$であれば，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$

であることを示せ．

【６】　$r$を正の実数とする．$xyz$空間において

• $x^2+y^2\leqq r^2$
• $y^2+z^2\geqq r^2$
• $z^2+x^2\leqq r^2$

を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ．