2005　東京大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$として，$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{Q}(1,0)$をとる．ただし，$0<\theta <\pi$とする．点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{PQ}$上を，また点$\mathrm{B}$は線分$\mathrm{OQ}$上を動き，線分$\mathrm{AB}$は$△\mathrm{OPQ}$の面積を二等分しているとする．このような線分$\mathrm{AB}$で最も短いものの長さを$l$とおき，これを$\theta$の関数と考えて

$l^2=f(\theta )$

と表す．

(1)　線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a\text{，}\mathrm{BQ}$の長さを$b$とすると，

$ab=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

が成立することを示せ．

(2)　$\mathrm{PQ}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\mathrm{PQ}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$それぞれの場合について，$f(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　関数$f(\theta )$は$0<\theta <\pi$で微分可能であることを示し，そのグラフの概形を描け．また，$f(\theta )$の最大値を求めよ．

【２】　$10$枚のカードに$1$から$10$までの数が$1$つずつ書かれている．これらのカードを用いた次のようなゲームを考える．$r$を自然数とする．このゲームは最大$r$ラウンドからなり，第$1$ラウンドから始まる．各ラウンドで，プレーヤーは，$10$枚のカードから$1$枚のカードを抜き出し，その数を見てから，「停止」または「続行」のいずれかを選択する．「停止」を選択した場合は，そのラウンドでゲームは終了し，最後に抜き出したカードに書かれた数が得点となる．「続行」を選択した場合は，抜き出したカードをもとにもどして，次のラウンドを実行する．最終ラウンドでは，「停止」しか選択できず，そのラウンドで抜き出したカードに書かれた数が得点となる．ただし，各ラウンドで，どのカードも等しい確率${\displaystyle \frac{1}{10}}$で抜き出されるものとする．

　抜き出したカードに書かれた数$x$によって「停止」または「続行」を選択する規則を，そのラウンドにおける戦略という．戦略はラウンドごとに，$0$または$1$の値をとる関数

$f(x)\text{（}x=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}10\text{）}$

によって，$f(x)=0$ならば「続行」，$f(x)=1$ならば「停止」と定める．

(1)　$k$は$1\leqq k<10$を満たす自然数とする．関数$f_k(x)$を

$f_k(x)=\{\begin{array}{l}0\text{（}1\leqq x\leqq k\text{）}\\ 1\text{（}k<x\leqq 10\text{）}\end{array}$

とする．最終ラウンドをのぞくすべてのラウンドで，$f_k(x)$によって定まる戦略を採用したときの得点の期待値を，$r$と$k$で表せ．

(2)　ラウンド数$r$が$2$のとき，得点の期待値が最大になるような，第$1$ラウンドでの戦略を与え，そのときの得点の期待値を求めよ．

(3)　ラウンド数$r$が$3$のとき，得点の期待値が最大となるような，第$1$ラウンドおよび第$2$ラウンドでの戦略をそれぞれ与え，そのときの得点の期待値を求めよ．

【３】　$a$は実数で，$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a<2$を満たすとする．$xy$平面の領域$D\text{，}E$を

• $D:1\leqq x^2+y^2\leqq 4$
• $E:a\leqq x\leqq a+1$

で定める．領域$D$と$E$の共通部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とおく．

(1)　$S(a)$を定積分で表せ．

(2)　導関数$S^{\prime }(a)$を$a$の関数として求めよ．

(3)　$S(a)$を最大にするような実数$a$を解にもつ$4$次方程式

$3x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=0\text{（}p\text{，}q\text{，}r\text{，}s\text{は整数）}$

を求めよ．

(4)　(3)で求めた方程式で，$x=\sqrt{2}t$とおき，さらに

$z=t-{\displaystyle \frac{1}{t}}$

とすることにより，この方程式を$z$についての$2$次方程式として表せ．

(5)　$S(a)$を最大にするような$a$の値を求めよ．