2005　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　次のように定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

• $a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{7}{4}}$
• $a_n={\displaystyle \frac{5}{2}}{a}_{n-1}-a_{n-2}\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　次のように定義される数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

• $b_1=2\text{，}{b}_2={\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}{b}_3={\displaystyle \frac{17}{4}}$
• $b_n={\displaystyle \frac{7}{2}{b}_{n-1}-\frac{7}{2}{b}_{n-2}+b_{n-3}}\text{（}n=4\text{，}5\text{，}6\text{，}\cdots \text{）}$

【２】　座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．

$\{\begin{array}{l}x=\sin 2\theta \\ y=\sin 3\theta \end{array}\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上で$x>0$かつ$y>0$となる$\theta$の範囲を求めよ．

(2)　区間$0\leqq \theta \leqq \pi$において$|x|=1$または$|y|=1$となる$\theta$の値を全て求めよ．

(3)　次の$3$条件を満たす${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$の値を求めよ．

$0\leqq {\theta }_1<{\theta }_2\leqq 2\pi \text{，}\sin 2{\theta }_1=\sin 2{\theta }_2>0\text{，}\sin 3{\theta }_1=\sin 3{\theta }_2>0$

(4)　曲線$C$が自分自身と交わる点の個数を求めよ．

【３】　次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす関数$f(x)\text{（}x>0\text{）}$を考える．

• (ⅰ)　$f(1)=0$
• (ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$が存在し，$f^{\prime }(x)>0\text{（}x>0\text{）．}$
• (ⅲ)　第$2$次導関数$f^{″}(x)$が存在し，$f^{″}(x)<0\text{（}x>0\text{）．}$

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$a\geqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき次の$3$数の大小を比較せよ．

$f(a)\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}\{f(a-\frac{1}{2})+f(a+\frac{1}{2}\left)\right\}}\text{，}{\displaystyle {\int }_{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{a+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}f(x)dx$

(2)　整数$n\text{（}n\geqq 2\text{）}$に対して次の不等式が成立することを示せ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{3}{2}}^{n}f(x)dx<\sum _{k=1}^{n-1}f(k)+\frac{1}{2}f(n)<{\int }_1^{n}f(x)dx}$

(3)　次の極限値を求めよ．ただし$\log$は自然対数を表す．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n+\log n!-\log n^n}{\log n}}$