2005　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CA}=2\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とする．下の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{C}$からその直線に下ろした垂線との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{C}$と三角形$\mathrm{ABC}$の外心$\mathrm{O}$を通る直線が，直線$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　数列を次のように順番につくる．

(ⅰ)　$1$番目の数列は$1,1$である．

(ⅱ)　$n+1$番目の数列は，まず$n$番目の数列の隣りあう項の間に$0$を挿入した数列をつくり，次に$n$番目の数列の初項をいまつくった数列のすべての項に加えてつくる．

たとえば$2$番目の数列は数列$1\text{，}0\text{，}1$の各項に$1$を加えて$2\text{，}1\text{，}2$で，$3$番目の数列は$4\text{，}2\text{，}3\text{，}2\text{，}4$である．下の問いに答えよ．

(1)　$5$番目の数列を作れ．

(2)　$n$番目の数列の項の個数$A_n$と和$B_n$を求めよ．

【３】　水平な台の上に置かれた底面の半径が$10cm\text{，}$高さが$20cm$の円柱形の容器の中に深さ$5cm$の水が入っている．この容器の中に半径$5cm$の鉄の球を入れたら，水の深さが$hcm$になった．$a\leqq h<a+1$をみたす整数$a$を求めよ．

【４】　$x>0$に対して，$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\log x}{x}}}{e}^{-xt}\sin xtdt$とする．下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$xf(x)$の極値を求めよ．

【１】　$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフが$x$軸と交わらないか接するとき，下の問いに答えよ．

(1)　$a^2-2a+b+2$の最小値を求めよ．

(2)　$p\text{，}q$は実数で$q>0$のとき，$pa+b$の最小値と$a+qb$の最小値が一致するための$p\text{，}q$の条件を求めよ．

【２】　異なる$2$直線$y=ax+{\displaystyle \frac{1}{a}}$と$y={\displaystyle \frac{1}{a}}x+a$が円${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$の周上または内部で交わるための$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$0<k<3$のとき，直線$y=kx$と曲線$y=|x(x-3)|$とで囲まれた図形の面積が最小となるような$k$の値を求めよ．