2005　東京工業大学　後期数学MathJax

【１】　数列$\{a_m\}$（ただし$a_m=m$とする）に対し$b_n={\displaystyle \sum _{m=1}^n}{a}_m$とおく．

(1)　$0<r<1$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{r}^n=0$となることを証明せよ．

(2)　$S_m=a_{1}r+a_2{r}^2+\cdots +a_m{r}^m\text{，}{T}_n=b_{1}r+b_2{r}^2+\cdots +b_n{r}^n$とおくとき，$\underset{m\to \infty }{\lim }{S}_m$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．

【２】　$C$を半径$1$の円とし，その周上に長さ$\theta$の円弧$\mathrm{PQ}$をおく．$C$と$\mathrm{P}$で接し$C$の内部にある円を$A\text{，}C$と$\mathrm{Q}$で接し$A$にも接する円を$B$とする．

(1)　$A$と$B$の面積の和の最小値$S_{\theta }$を$\theta$で表せ．

(2)　$\theta$が$0$から$2\theta$まで動くとき，$S_{\theta }$の最大値を求めよ．