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図1 球の容器の側面部の形状
問1 半径の球個を収納する容器を作りたい.球は容器の中で自由には移動できないように収納する.このとき,容器の内容積を最小にしたい.球を段に並べて入れる場合,内容積が小さいと思われる容器の候補をつ図示し,それらの容器の内容積をそれぞれ求めよ.ただし,容器の底面と上面は互いに平行な平面とし,側面は底面に垂直で,個以上の球に接する平面を複数個用いて球を囲むように構成するが,そのとき,平面の交叉によりできる角部を底面に素直な球に接する円筒面としてなだらかにつなげる.(球個を正方形状に入れる場合の側面を上から見た図を図1に示す.)なお,段とは全ての球が底面に接していることをいう.球の並べ方は正方形状にだわらず,自由にしてよい.
問2 個の球のうちの何個かを底面上に並べ,残りの球を底面上に並べた球の上に置いた段の状態で問1と同じ条件で容器を作る.このとき,上段部の球を並べた外周は下段部の球を並べた外周からははみ出さないものとし,下段部の占める底面積が上段部のそれより大きい場合は,下段部と上段部の側面の間を底面に平行な平面でつなぐものとする.下段部,上段部の側面は別個に構成し,その条件は問1と同様とする.このとき,容器の内容積が最も小さくなると思われる容器をつ図示し,その内容積を求めよ.また,問1のつを含めたつの容器の中で,内容積が最も小さくなるものを示せ.