2005　一橋大学　前期MathJax

【１】　$k$は整数であり，$3$次方程式

$x^3-13x+k=0$

は$3$つの異なる整数解をもつ．$k$とこれらの整数解をすべて求めよ．

【２】　原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$0<a<1\text{，}b>1$とする．$\mathrm{A}(a,0)$と$\mathrm{N}(0,1)$を通る直線が$C$と交わる点のうち$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{P}$とおく．また，$\mathrm{B}(b,0)$と$\mathrm{N}$を通る直線が$C$と交わる点のうち$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．

(2)　$\mathrm{AQ}⫽\mathrm{PB}$のとき，$\mathrm{AN}\cdot \mathrm{BN}=2$となることを示せ．

(3)　$\mathrm{AQ}⫽\mathrm{PB}\text{，}\angle \mathrm{ANB}=45°$のとき，$a$の値を求めよ．

【３】　$0°\leqq \theta <360°$をみたす$\theta$と正の整数$m$に対して，$f_m(\theta )$を次のように定める．

$f_m(\theta )={\displaystyle \sum _{k=0}^m}\sin (\theta +60°\times k)$

(1)　$f_5(\theta )$を求めよ．

(2)　$\theta$が$0°\leqq \theta <360°$の範囲を動くとき，$f_4(\theta )$の最大値を求めよ．

(3)　$m$がすべての正の整数を動き，$\theta$が$0°\leqq \theta <360°$の範囲を動くとき，$f_m(\theta )$の最大値を求めよ．

【４】　$a$を定数とし，$x$の$2$次関数$f(x)\text{，}g(x)$を次のように定める．

• $f(x)=x^2-3$
• $g(x)=-2{(x-a)}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}$

(1)　$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$2$つの共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた範囲に属する$a$に対して，$2$つの放物線によって囲まれる図形を$C_a$とする．$C_a$の面積を$a$で表せ．

(3)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，少なくとも$1$つの$C_a$に属する点全体からなる図形の面積を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人があるゲームを繰り返し行う．$1$回ごとのゲームで$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$p\text{，}\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に勝つ確率は$1-p$であるとする．$n$回目のゲームで初めて$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の双方が$4$勝以上になる確率を$x_n$とする．

(1)　$x_n$を$p$と$n$で表せ．

(2)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$x_n$を最大にする$n$を求めよ．