2005　一橋大学　後期MathJax

【１】(1)　$p\text{，}2p+1\text{，}4p+1$がいずれも素数であるような$p$をすべて求めよ．

(2)　$q\text{，}2q+1\text{，}4q-1\text{，}6q-1\text{，}8q+1$がいずれも素数であるような$q$をすべて求めよ．

【２】(1)　次式をともにみたす複素数$\alpha \text{，}\beta$をすべて求めよ．

$|\alpha |=|\beta |=1\text{，}\alpha -\beta ={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$

(2)　次式をともにみたす複素数$z\text{，}w$をすべて求めよ．

$|z|=|w|=1\text{，}{z}^2+w^2=z+w$

【３】　$\mathrm{P}$は$x$軸上の点で$x$座標が正であり，$\mathrm{Q}$は$y$軸上の点で$y$座標が正である．直線$\mathrm{PQ}$は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に接している．また，$a\text{，}b$は正の定数とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を動かすとき，$a{\mathrm{OP}}^2+b{\mathrm{OQ}}^2$の最小値を$a\text{，}b$で表せ．

【４】　定数$a$に対して，次の$2$つの方程式が表す曲線をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．

• $y=a{x}^3-2x^2+3$
• $y=x^3+a{x}^2-4x$

　$C_1$と$C_2$がちょうど$2$点を共有するような$a$をすべて求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の整数とする．最初，$\mathrm{A}$さんは白玉だけを$n$個持ち，$\mathrm{B}$さんは赤玉を$1$個と白玉を$n-1$個持つ．

　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんは，次の順で$1$回分の玉のやりとりを行う．ただし，(ⅰ)と(ⅱ)を合わせて$1$回とする．

• (ⅰ)　$\mathrm{A}$さんは，$\mathrm{B}$さんの持っている$n$個の玉の中から無作為に$1$個を取り出し，自分の持ち玉に加える．
• (ⅱ)　次に，$\mathrm{B}$さんは，$\mathrm{A}$さんの持っている$n+1$個の玉の中から無作為に$1$個を取り出し，自分の持ち玉に加える．

　$k$を$1$以上の整数とする．上のやりとりを$k$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$さんが赤玉を持っている確率を$p_k$とする．

(1)　$p_3$を$n$で表せ．

(2)　$p_k$を$n$と$k$で表せ．