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2005-10301-0201
2005 横浜国立大学 後期
経済,経営学部
易□ 並□ 難□
【1】 整数 a , b ,c ,d に対して,数列 { xn} ,{ yn } を x 1=1 , y1 =0 と関係式
{ xn+ 1= a⁢x n+b ⁢yn yn+ 1= c⁢x n+d ⁢yn ( n= 1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.さらに,数列 {s n} を
a n=x n+y n (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.次の問いに答えよ.
(1) s2 , s3 をそれぞれ a , b ,c , d を用いて表せ.
(2) s2 =1 ,s n+2 =s n+ sn+ 1 ( n=1 , 2 ) が成り立つような組 (a ,b,c ,d) をすべて求めよ.
(3) s2 =1 ,s n+2 =s n+s n+1 ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) が成り立つような組 (a ,b,c ,d) をすべて求めよ.
2005-10301-0202
【2】 関数 f⁡ (x)= x2+ k⁢x がある.ただし, k は |k |< 1 をみたす定数である.このとき, xy 平面上の曲線 C :f⁡( x) について, C 上の点 P (t ,f⁡( t)) を通り P における C の接線と直交する直線を l とする.次の問いに答えよ.
(1) l の方程式を求めよ.
(2) l が点 (0 ,1) を通るような t の値をすべて求めよ.
(3) (2)で求めた t の値の最小値を α , 最大値を β とするとき,
∫α β ⁡f⁡ (x)⁢ dx
を求めよ.
2005-10301-0203
経済・経営学部
【3】 n を 2 以上の整数とする. 0 以上の整数 x , y が 2 ⁢x+ 3⁢y =n をみたしながら変化するときの 2 x⁢ 3y の最大値を a n とする.次の問いに答えよ.
(1) a8 , a9 , a10 を求めよ.
(2) a3⁢ m−1 ,a 3⁢m , a3⁢ m+1 ( m= 1, 2 ,3 , ⋯) をそれぞれ m の式で表せ.
(3) 1− 813 ⁢ ∑k= 2n ⁡1 ak ≦13 333 をみたす n の最小値を求めよ.
2005-10301-0204
【4】 xy 平面上に点 (t ,t 3− 4⁢ t) を中心とする半径 1 の円がある. t が −2 ≦t≦ 2 の範囲を動くとき,この円の通過する領域を D とする.次の問いに答えよ.
(1) 点 (x ,y) が D 上を動くとき, x のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 点 (x, y) が D 上を動くとき, y のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) a を a ≧0 をみたす定数とする.点 (x ,y) が D 上を動くとき, a⁢x +y の最大値を求めよ.
2005-10301-0205
工学部
【1】 次の定積分を求めよ.
(1) ∫0 log⁡3 2 ex +1 e2 ⁢x +1 ⁢d x
(2) ∫0 π 2 x | sin2 ⁡x− 1 2 | ⁢dx
2005-10301-0206
【2】 次の問いに答えよ.
(1) 3 次方程式 4 ⁢x3 −4 x2− x+1= 0 を解け.
(2) (1)で求めた 3 つの解を α 1 ,α 2 ,α 3 で表す. C 1 , C2 , C3 を定数とするとき,
xn =C1 ⁢ α1 n−1 + C2⁢ α2 n− 1+ C3 ⁢α 3n −1 (n =1 ,2 , 3 ,⋯ )
によって定まる数列 {x n} は,次の関係式をみたすことを示せ.
xn +3 =x n+2 + 1 4x n+1 − 1 4x n (n=1 , 2 ,3 ,⋯ )
(3) x1 =0, x2 =1 ,x 3= −1 , xn+ 3= xn +2 + 14 ⁢x n+1 − 1 4 xn ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) をみたす数列 { xn } の一般項 x n を n の式で表せ.
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【3】 xy 平面上に定点 A (0 ,1) がある. x 軸上に点 P (t ,0) をとり, P を中心とし,半径 1 2⁢ AP の円を考える. t が t ≧0 の範囲を動くとき,この円の通過する領域を D とする.次の問いに答えよ.
(1) D を式で表し図示せよ.
(2) D のうち x ≦1 の部分を x 軸のまわりに 1 回転して得られる立体の体積を求めよ.
2005-10301-0208
【4】 次の問いに答えよ.
(1) x≧0 のとき
x− x22 ≦log⁡ (1+ x) ≦x
が成り立つことを示せ.
(2) a を正の整数とする.次の極限を求めよ.
limn→ ∞[{ ∑k=1 nlog ⁡(n a+1 +ka) }−(a+ 1)⁢n ⁢log⁡ n]
2005-10301-0209
【5】 xy 平面上に曲線 C: y= x2 − 54 がある. C 上の異なる 2 点 P , Q の x 座標をそれぞれ p ,q とする. P , Q における C の 2 本の接線の交点を R とし, 3 点 P , Q , R を通る円の中心の座標を (X ,Y) とする.次の問いに答えよ.
(1) X ,Y を p , q で表せ.
(2) p−q =1 のとき, X2 を Y の式で表せ.