2005　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を$x_1=1\text{，}{y}_1=0$と関係式

$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=a{x}_n+b{y}_n\\ y_{n+1}=c{x}_n+d{y}_n\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．さらに，数列$\{s_n\}$を

$a_n=x_n+y_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$s_2\text{，}{s}_3$をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　$s_2=1\text{，}{s}_{n+2}=s_n+s_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{）}$が成り立つような組$(a,b,c,d)$をすべて求めよ．

(3)　$s_2=1\text{，}{s}_{n+2}=s_n+s_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つような組$(a,b,c,d)$をすべて求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^2+kx$がある．ただし，$k$は$|k|<1$をみたす定数である．このとき，$xy$平面上の曲線$C:f(x)$について，$C$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$が点$(0,1)$を通るような$t$の値をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた$t$の値の最小値を$\alpha \text{，}$最大値を$\beta$とするとき，

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}f(x)dx$

を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．$0$以上の整数$x\text{，}y$が$2x+3y=n$をみたしながら変化するときの$2^x{3}^y$の最大値を$a_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_8\text{，}{a}_9\text{，}{a}_{10}$を求めよ．

(2)　$a_{3m-1}\text{，}{a}_{3m}\text{，}{a}_{3m+1}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$をそれぞれ$m$の式で表せ．

(3)　$1-{\displaystyle \frac{8}{13}\sum _{k=2}^n\frac{1}{a_k}\leqq \frac{1}{3^{333}}}$をみたす$n$の最小値を求めよ．

【４】　$xy$平面上に点$(t,t^3-4t)$を中心とする半径$1$の円がある．$t$が$\mathrm{-2}\leqq t\leqq 2$の範囲を動くとき，この円の通過する領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$(x,y)$が$D$上を動くとき，$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が$D$上を動くとき，$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a$を$a\geqq 0$をみたす定数とする．点$(x,y)$が$D$上を動くとき，$ax+y$の最大値を求めよ．

【１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\log 3}{2}}}}{\displaystyle \frac{e^x+1}{e^{2x}+1}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}x|{\sin }^{2}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|dx$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$4x^3-4x^2-x+1=0$を解け．

(2)　(1)で求めた$3$つの解を${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3$で表す．$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$を定数とするとき，

$x_n=C_1{{\alpha }_1}^{n-1}+C_2{{\alpha }_2}^{n-1}+C_3{{\alpha }_3}^{n-1}(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$

によって定まる数列$\{x_n\}$は，次の関係式をみたすことを示せ．

$x_{n+3}=x_{n+2}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_n(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$

(3)　$x_1=0\text{，}{x}_2=1\text{，}{x}_3=\mathrm{-1}\text{，}{x}_{n+3}=x_{n+2}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_n(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$をみたす数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を$n$の式で表せ．

【３】　$xy$平面上に定点$\mathrm{A}(0,1)$がある．$x$軸上に点$\mathrm{P}(t,0)$をとり，$\mathrm{P}$を中心とし，半径${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{AP}$の円を考える．$t$が$t\geqq 0$の範囲を動くとき，この円の通過する領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$D$を式で表し図示せよ．

(2)　$D$のうち$x\leqq 1$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき

$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \log (1+x)\leqq x$

が成り立つことを示せ．

(2)　$a$を正の整数とする．次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\right\{{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log (n^{a+1}+k^a)\}-(a+1)n\log n]$

【５】　$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$がある．$C$上の異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q$とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における$C$の$2$本の接線の交点を$\mathrm{R}$とし，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る円の中心の座標を$(X,Y)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$X\text{，}Y$を$p\text{，}q$で表せ．

(2)　$p-q=1$のとき，$X^2$を$Y$の式で表せ．