2005　新潟大学　前期MathJax

【１】　不等式

${\log }_2\sqrt{2-x}+{\log }_4(x+2)>{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\log }_2\sqrt{{\displaystyle \frac{y}{2}}}$

の表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$内の点$(x,y)$で，$x\text{，}y$がともに整数であるものをすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた点$(x,y)$のうちで，$\sqrt{3}x-y$を最小にするものを求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とし半径$1$の円を$S$とする．三角形$\mathrm{ABC}$は，すべての頂点が$S$上にあり，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{O}$はなく，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=3:2$を満たすとする．点$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$の点$\mathrm{C}$の方への延長線上で$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}=1:k$の位置にあるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}k$で表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$における$S$の接線が点$\mathrm{D}$を通るとき，$k$の値を求めよ．

【３】　$i$を虚数単位とし，複素数平面上で$4i\text{，}\mathrm{-2}i$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{D}$を中心として点$\mathrm{A}$を$90°$だけ回転した点を$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{A}$を中心として点$\mathrm{B}$を$90°$だけ回転した点を$\mathrm{C}$とする．$\alpha =4i$とし，$\beta \text{，}\gamma$はそれぞれ点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が表す複素数とする．複素数$z$に対して，$T={|z-\alpha |}^2+{|z-\beta |}^2+{|z-\gamma |}^2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\beta \text{，}\gamma \text{，}$および，$\alpha +\beta +\gamma$の値を求めよ．

(2)　$T$を$|z|$で表せ．

(3)　点$z$が$|z-(3+4i)|=1$を満たしながら動くとき，$T$の最大値とそのときの点$z$を求めよ．

【４】　関数$y=x^2$のグラフを$C$とする．点$\mathrm{A}(a,a^2)$における$C$の接線の傾きは$\sqrt{3}$とする．点$\mathrm{A}$を通りこの接線と直交している直線は，$y$軸と点$\mathrm{B}(0,b)$で交わるとする．点$\mathrm{B}$を中心とし，点$\mathrm{A}$を通る円を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値，および円$S$の半径を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}(x,x^2)$に対して，${\mathrm{BP}}^2\geqq {\mathrm{BA}}^2$が成り立つことを示せ．また，$\mathrm{BP}=\mathrm{BA}$が成り立つ点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　円$S$の$y\leqq a^2$の部分と$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　$2$点$\mathrm{A}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},1)$と$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$を通る放物線$y=-a{x}^2+bx+c(a>0)$と$x$軸で囲まれる領域の面積を$S$とする．このような放物線のうちで，$S$を最小にするものを求めよ．また，そのときの$S$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は，$ad-bc=1$を満たし，$E$の実数倍ではないとする．$p=a+d$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式$A^2=pA-E$を証明せよ．

(2)　$A^3=E$となるとき，$p$の値を求めよ．

(3)　$p^2+p-1=0$は，$A^5=E$であるための必要十分条件であることを示せ．

【５】　$e$を自然対数の底とし，$t$は$\mathrm{-1}\leqq t\leqq e$を満たすとする．$x\text{，}y$に関する連立不等式

$\{\begin{array}{l}(y-e^{-x})(y-t)\leqq 0\\ \mathrm{-1}\leqq x\leqq 1\end{array}$

の表す$xy$平面上の領域の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$S(t)$の最大値，最小値を求めよ．

【６】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,b)$は第$4$象限にあり，点$\mathrm{P}$を通る$C$の接線を$m_1\text{，}{m}_2$とし，$C$との接点の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}{x}_2$とする．ただし，$x_1<x_2$となるように$m_1\text{，}{m}_2$を定める．$m_1\text{，}{m}_2$と$y$軸との交点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1(0,y_1)\text{，}{\mathrm{Q}}_2(0,y_2)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_1\text{，}{x}_2$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　三角形${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{PQ}}_2$の面積が$4$であるように点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．