2005　金沢大学　前期　文系MathJax

【１】　実数$\alpha \text{，}\beta$について，$x\text{，}y$は$2$つの等式

$x+y=\alpha \beta +\alpha +\beta -1\text{，}2x+3y=3\alpha \beta +2\alpha +2\beta -3$

をみたすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$を$x\text{，}y$で表せ．

(2)　$t$の$2$次方程式$t^2-(\alpha +\beta )t+\alpha \beta =0$が実数解をもつ条件を$x\text{，}y$で表せ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$が条件$-1\leqq \alpha \leqq 1\text{，}-1\leqq \beta \leqq 1$をみたすとき，点$(x,y)$の存在範囲を座標平面に図示せよ．

【２】　不等式$y\leqq -{(x-1)}^2$の表す領域を$A_1\text{，}$不等式$y\leqq -{(x+1)}^2$の表す領域を$A_2$とする．$A_1$と$A_2$の和集合$A_1\cup A_2$を$A$とする．また，不等式$y\geqq {(x-a)}^2+b$の表す領域を$B$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a=0\text{，}b=-1$とするとき，$A$と$B$の共通部分$A\cap B$の面積を求めよ．

(2)　$A_1$と$B$の共通部分$A_1\cap B$が空集合でないための条件を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$A$と$B$の共通部分$A\cap B$が空集合でないとき点$(a,b)$の存在範囲を座標平面に図示せよ．

【３】　複素数平面上で，点$0$を中心とする半径$1$の円を$C\text{，}$点$1$を中心とする半径$1$の円を$C^{\prime }$とする．複素数$z$の表す点は$C$上にあり，複素数$w$の表す点は$C^{\prime }$上にある．$z$の偏角を$\theta$とし，$w-1$の偏角は$2\theta$とする．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$w$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$w$の実部が$z$の実部より小さくなる$\theta$の範囲を求めよ．

(3)　$|w-z|=\sqrt{3}+1$をみたす$\theta$の値を求めよ．