2005　金沢大学　前期　理系MathJax

【１】　$3$点$\mathrm{A}(6,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,6,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,6)$の定める平面を$\alpha$とする．原点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$に直交する直線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，線分$\mathrm{HO}$上の点で，$\mathrm{H}$からの距離が$t$となる点を${\mathrm{P}}_t$とする．ただし，${\mathrm{P}}_t$の動く範囲から両端点$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{O}$はのぞくとする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{H}$の座標と，$t$の動く範囲を求めよ．

(2)　平面$\alpha$上にあり，${\mathrm{P}}_t$からの距離が$\mathrm{OH}$となる点が作る円を$S_t$とする．$S_t$とその内部を底面とし，${\mathrm{P}}_t$を頂点とする$\stackrel{\text{えんすい}}{\text{円錐}}$の体積を$f(t)$とする．このとき$f(t)$を求めよ．

(3)　(2)の$f(t)$の最大値を求めよ．

【２】　定数$a$は$0<a<1$をみたすとする．行列$P=\left(\begin{array}{cc}1-a& a\\ a& 1-a\end{array}\right)$について次の問いに答えよ．

(1)　$P$の$2$乗は$P^2=\left(\begin{array}{cc}1-b& b\\ b& 1-b\end{array}\right)$という形で表されることを示せ．

(2)　$P$が自然数のとき，$P$の$n$乗は

$P^n=\left(\begin{array}{cc}1-p_n& p_n\\ p_n& 1-p_n\end{array}\right)$

という形で表されることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　(2)の$p_n$について，数列$\{p_n\}$の一般項と$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を$0\leqq x\leqq \pi$のとき$f(x)=\sin x$とおき，$x<0$または$\pi <x$のとき$f(x)=0$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{2}\pi }}{\{f(x)\}}^{2}dx$と${\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{2}\pi }}{\{f(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right\}}^{2}dx$の値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{2}\pi }}f(x)f(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})dx$の値を求めよ．

(3)　$a>0$について

$T(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{2}\pi }}{\{2af(x)+{\displaystyle \frac{1}{a}}f(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right\}}^{2}dx$

とおく．$T(a)$の最小値とそれを与える$a$の値を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを振る試行をくり返す．$n$回の試行で少なくとも$1$回は$1$の目が出る確率を$a_n$とする．$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$について，$k$回目の試行で初めて$1$の目が出る確率を$b_k$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$M_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{b}_k$とする．$M_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　(2)の$M_n$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n$を求めよ．ただし，$|r|<1$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$が成り立つことを用いてもよい．