2005　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　関数$f(x)=9^x-3^{x+2}+4$について，次の問に答えよ．

(1)　方程式$f(x)=4$を解け．

(2)　不等式$\mathrm{-4}<f(x)\leqq 40$を解け．

(3)　$\mathrm{-1}\leqq x\leqq 2$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　座標平面上の三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$6:1$に外分する点を$\mathrm{R}$とする．頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が一直線上にあることを証明せよ．

【３】　$0°<\theta <360°$とし，座標平面の点$\mathrm{A}(1,0)$と$\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )$について，線分$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線を$L$とする．

(1)　$L$の方程式を求めよ．

(2)　$L$上にない任意の点$\mathrm{P}(a,b)$と$\mathrm{Q}(a\cos \theta +b\sin \theta ,a\sin \theta -b\cos \theta )$に対して，$L$は線分$\mathrm{PQ}$の垂直$2$等分線であることを示せ．

【４】　数列$\{a_n\}$は初項$a_1=a\text{，}$公差$1$の等差数列であるとし，数列$\{b_n\}$は漸化式

$b_1=0\text{，}{b}_{n+1}+b_n=2n+a\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$c_n=b_n-n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を導け．

(2)　$b_n$を求めよ．

(3)　$a_n\leqq b_n\leqq a_{n+1}$がすべての$n$で成り立つような$a$の範囲を求めよ．

【１】　点${\mathrm{A}}_1(a,0)$を通り$x$軸に垂直な直線と放物線$C:y=x^2$との交点を${\mathrm{P}}_1$とする．${\mathrm{P}}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}_2$とする．${\mathrm{A}}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を${\mathrm{P}}_2$とする．以下この操作を繰り返して$C$上の点列${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$と$x$軸上の点列${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n\text{，}\cdots$を定める．

(1)　線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{P}}_2$と$C$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を求めよ．

(2)　線分${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{P}}_3$と$C$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を求めよ．

(3)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{P}}_{n+1}$と$C$で囲まれる図形を$x$軸のまわりjに回転させてできる回転体の体積を$V_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n$を求めよ．

【２】　単位行列$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$と異なる行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^3=E$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)　${(a+d)}^2=ad-bc$を示せ．

(2)　$a+d$の値を求めよ．

専攻別数学選択方法

学校教育教員養成課程

　教育実践科学，社会科学教育専攻　数学$\text{①}$

　理数科学専攻　数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

　生活科学専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

養護学校教員養成課程

　障害児教育専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

教育カウンセリング課程
　心理臨床専攻　数学$\text{②}$と$\text{③}$