2005　信州大学　前期　理，医学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　赤玉，黄玉，青玉が$2$個ずつ計$6$個ある．

(a)　これを$1$列に並べる方法は何通りあるか．

(b)　同じ色の玉が隣り合わないように$1$列に並べる方法は何通りあるか．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1,3)$と$\overrightarrow{b}=(1,-1,0)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　漸化式

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ a_{n+1}=a_n+6(n+1)\text{（}n\geqq 1\text{）}\end{array}$

で定義される数列$\{a_n\}$について，その一般項を求めよ．

【２】　次の文章の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ク}}$にはすべて$1$けたの自然数が入るとする．$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ク}}$にあてはまる自然数を求めよ．

　放物線$C:y=\boxed{\text{ア}}{x}^2$と直線$l:\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$の交点の座標は$(-\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$と$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$である．また放物線$C$と直線$l$とで囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

【３】　$a$を定数とし，多項式$a{x}^2-xy+y^2+11x-7y+10$が$x\text{，}y$に関する$1$次式$P\text{，}Q$の積に因数分解できるとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$2$直線$P=0\text{，}Q=0$のなす角度$\theta$を求めよ．ただし，$0°<\theta \leqq 90°$とする．

【４】　座標空間内の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,t)$をとる．ここで$t>0$とする．また$\alpha =\angle \mathrm{OCA}\text{，}\beta =\angle \mathrm{ACB}$とおく．

(1)　$u=\cos \alpha \text{，}v=\cos \beta$とおくとき$u$と$v$を$t$の関数として表せ．また$v$を$u$の関数として表せ．

(2)　$2\alpha +\beta =180°$となるときの$t$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　$c\ne 0$とする．また，すべての自然数$n$について$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}$とおく．このとき極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{n}}$と$\underset{n\to \infty }{\lim }(e^{\frac{c}{n}}{a}_n-a_n)$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　あるマラソン選手は出発点から$40km$の地点までをちょうど$2$時間で走った．このとき，途中のある$3$分間でちょうど$1km$の距離を進んだことを説明せよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$2$以上の自然数とするとき，

${\displaystyle {\int }_{k-1}^k}\log xdx<\log k<{\displaystyle {\int }_k^{k+1}}\log xdx$

であることを示せ．

(2)　すべての自然数について，

$n^n{e}^{-n}<n!<{(n+1)}^{n+1}{e}^{-n}$

であることを示せ．

【７】　曲線$C:x^2-y^2=1\text{（}x\geqq 1\text{）}$と点$\mathrm{P}(4,0)$がある．

(1)　曲線$C$の接線と点$\mathrm{P}$との距離を$d$とするとき，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C$の接線のうちで点$\mathrm{P}$からの距離が最小となるものの方程式を求めよ．