2005　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の関係が成り立つ$▵\mathrm{ABC}$はどんな三角形か．ただし$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$で表す．

$\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin (B+C)\cos (B-C)=\sin (C+A)\cos (C-A)$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式$2\cdot 8^x-17\cdot 4^x+16\cdot 2^x-4=0$の$1$つの解は$-1$である．他の$2$つの解の和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\theta }}(\theta -t)\sin 2tdt$の$0\leqq \theta \leqq 2\pi$における最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】(1)　$0<x<1$において，つねに不等式

${\displaystyle 1+\frac{1}{m}x<\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{n}x}$

が成り立つような正の整数$m$の最小値および正の整数$n$の最大値を求めよ．

(2)　$\sqrt{1.0006}-1$を小数で表したとき，小数第何位にはじめて$0$でない数字が現れるか．またその数字は何か．

【３】　曲線$C:y=e^{-\frac{x}{2}}$上の点${\mathrm{P}}_n$における接線$l_n$と$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_n(q_n,0)$とし，直線$x=q_n$と曲線$C$との交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．曲線$C\text{，}$接線$l_n$および直線$x=q_n$で囲まれた部分の面積を$S_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．${\mathrm{P}}_1$が$(0,1)$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　面積$S_n$を求めよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の値を求めよ．

【４】　曲線$y=f(x)\text{（}x\geqq 1\text{，}f(x)\geqq 0\text{）}$は点$(1,0)$を通り，$x=1$から$x=t\text{（}t>1\text{）}$までの長さが${\displaystyle \frac{1}{4}(t^2+2\log t-1)}$である．この曲線，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし対数は自然対数，関数$f(x)$は$x\geqq 1$で微分可能とする．