2005　信州大学　後期　教育学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=p:1-p(\text{ただし，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq p\leqq 1)$となるようにとり，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を$▵\mathrm{APQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}▵\mathrm{ABC}$となるようにとる．

(1)　$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}$を求め，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$に対しベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．

(2)　直線$\mathrm{AM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{X}$とする．$p$が${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq p\leqq 1}$の範囲を動くとき${\displaystyle \frac{\mathrm{BX}}{\mathrm{BC}}}$の値の範囲を求めよ．

【２】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(3,2)\text{，}\mathrm{B}(-2,-1)\text{，}\mathrm{C}(-1,2)$がある．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から直線$y=x+b$までの距離をそれぞれ$d_{\mathrm{A}}\text{，}{d}_{\mathrm{B}}\text{，}{d}_{\mathrm{C}}$とするとき，${d_{\mathrm{A}}}^2+{d_{\mathrm{B}}}^2+{d_{\mathrm{C}}}^2$を最小にする$b$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$b$の値を$b_0$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から直線$y=-ax+b_0$までの距離をそれぞれ$d_{\mathrm{A}}\text{，}{d}_{\mathrm{B}}\text{，}{d}_{\mathrm{C}}$とするとき，${d_{\mathrm{A}}}^2+{d_{\mathrm{B}}}^2+{d_{\mathrm{C}}}^2$を最小にする$a$の値を求めよ．

【３】　$A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$A^2=aA+bE$を満たす数$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　$A^3$と$A^4$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

【４】　複素数平面で

• $0$を中心にして$1$を角$\theta$回転した点を$w_1\text{，}$
• $w_1$を中心にして$0$を角$\theta$回転した点を$z_1\text{，}$
• $z_1$を中心にして$w_1$を角$\theta$回転した点を$w_2\text{，}$
• $w_2$を中心にして$z_1$を角$\theta$回転した点を$z_2$

とする．ただし，$0°<\theta <180°$とし，$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$とおく．次の問に答えよ．

(1)　次の空欄を埋めよ．

　$w_1$を$0$に移す平行移動で$0$は$\boxed{\text{ア}}$に移る．次に，$0$を中心にして(ア)を角$\theta$回転した点は$\boxed{\text{イ}}$と表される．(ア)を$0$に移す平行移動で(イ)は$z_1$に移る．よって$z_1=\boxed{\text{ウ}}$となる．

(2)　$w_2\text{，}{z}_2$を$\alpha$で表せ．

(3)　$z_2=1$であるとき，$\theta$を求めよ．