2005　信州大学　後期　理学部数IIICMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2+1}{x+1}dx}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{2}x\cos xdx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$が$BAB=B$をみたすとする．このような$a$と$b$の値の組をすべて求めよ．

【２】　$t$を実数とし，領域$A\text{，}B$を

• $A=\{(x,y)|0\leqq x\text{，}0\leqq y\leqq e^{-x}\}$
• $B=\{(x,y)|x\leqq t\text{，}0\leqq y\leqq e^{x-t}\}$

とする．$t$が実数全体を動くとき，$A$と$B$の共通部分の面積$S(t)$の最大値とそれを与える$t$の値を求めよ．

【３】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{t^2}})$における接線$l$が$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が曲線${\displaystyle y=\frac{1}{x^2}}$の上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値とそれを与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．