2005　名古屋大学　前期MathJax

【１】　放物線$R:y=-x^2+6$と直線$l:y=x$との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．直線$y=x+t\text{（}t>0\text{）}$は放物線$R$と相異なる$2$点$\mathrm{C}(t)\text{，}\mathrm{D}(t)$で交わるものとする．

(1)　放物線$R$と直線$l$とで囲まれた図形の面積$T$を求めよ．

(2)　$4$つの点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}(t)\text{，}\mathrm{D}(t)$を頂点とする台形の面積を$S(t)$とし，$f(t)={\displaystyle \frac{S(t)}{T}}$とおく．$f(t)$の最大値を求めよ．

【２】　$1$から$13$までの数が$1$つ書かれているカードが$52$枚あり，各数について$4$枚ずつある．この$52$枚のカードから，戻さずに続けて$2$枚とりだし，そのカードに書かれた数を順に$x\text{，}y$とする．関数$f(x,y)={\log }_3(x+y)-{\log }_{3}x-{\log }_{3}y+1$を考える．

(1)　カードに書かれた数$x\text{，}y$で，$f(x,y)=0$となるものをすべて求めよ．

(2)　$f(x,y)=0$となる確率を求めよ．

【３】(1)　複素数$z$を未知数とする方程式$z^6=64$の解をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた解$z=p+qi$（$p\text{，}q$は実数）のうち，次の条件をみたすものをすべて求めよ．

条件：$x$を未知数とする$3$次方程式$x^3+\sqrt{3}qx+q^2-p=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ．

【３】(b)　$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を実数として，行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& p\\ q& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& r\\ s& 1\end{array}\right)$を考える．

(1)　$AB-BA=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$となるための条件を求めよ．

(2)　(1)が成り立つとき，$A^{2}B-B{A}^2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$を示し，$A^3-B^3-(A-B)(A^2+AB+B^2)$を求めよ．

【１】　放物線$R:y=-x^2+3$と直線$l:y=2x$との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．直線$y=2x+t\text{（}t>0\text{）}$は放物線$R$と相異なる$2$点$\mathrm{C}(t)\text{，}\mathrm{D}(t)$で交わるものとする．

(1)　放物線$R$と直線$l$とで囲まれた図形の面積$T$を求めよ．

(2)　$4$つの点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}(t)\text{，}\mathrm{D}(t)$を頂点とする台形の面積を$S(t)$とし，$f(t)={\displaystyle \frac{S(t)}{T}}$とおく．$f(t)$の最大値を求めよ．

【２】(1)　複素数$z$を未知数とする方程式$z^5+2z^4+4z^3+8z^2+16z+32=0$の解をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた解$z=p+qi$（$p\text{，}q$は実数）のうち次の条件をみたすものをすべて求めよ．

条件：$x$を未知数とする$3$次方程式$x^3+\sqrt{3}qx+q^2-p=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考え，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ辺$\mathrm{OA}$上を秒速$1$で，動点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ辺$\mathrm{AB}$上を秒速${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，動点$\mathrm{R}$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$へ辺$\mathrm{BC}$上を秒速$1$で，動点$\mathrm{S}$は$\mathrm{C}$から$\mathrm{O}$へ辺$\mathrm{CO}$上を秒速${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，同時に動き出す．

(1)　動き出してから$t$秒後（$0\leqq t\leqq 1$）のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$が交点$\mathrm{M}$をもつときの$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$の値を求め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【４】(a)　整数に値をとる変数$x$の値が，以下の規則で変化する．

• (ⅰ)　ある時刻で$x=m\text{（}m\ne 0\text{）}$のとき，$1$秒後に$x=m+1\text{，}x=m-1$である確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．
• (ⅱ)　ある時刻で$x=0$のとき，$1$秒後に$x=1$である確率は$q\text{，}x=-1$である確率は$1-q$である（$0\leqq q\leqq 1$）．

　$x=0$から始めて，$n$秒後（$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$）に$x=m$である確率を$p_n\left(m\right)$とする．

(1)　$p_3(1)+p_3(-1)$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対し次がなりたつことを示せ：どんな整数$m$についても$p_n(m)+p_n(-m)$は$q$にはよらない．

(3)　$p_n(0)$を求めよ．

【４】(b)(1)　連続間数$f(x)$が，すべての実数$x$について$f(\pi -x)=f(x)$をみたすとき，${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})f(x)dx=0$がなりたつことを証明せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x{\sin }^{3}x}{4-{\cos }^{2}x}}dx$を求めよ．