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2005 名古屋工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 C: y= 1x- 1 x2 x> 0 について,次の問いに答えよ.

(1)  a を実数とする.点 (0, a) から曲線 C に接線を引くことができる a の範囲を求めよ.

(2) 曲線 C の変曲点における接線,曲線 C および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 曲線 C:( x2+ y2) (3 x2+ y2) =(x+ y)2 x>0 y>0 について,次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C を極方程式 r2 =f (θ) の形で表せ.

(2)  t=tan θ とおくことにより, f(θ ) の最大値とそれを与える θ (0 <θ< π 2 ) を求めよ.

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【3】 複素数平面上で,複素数 0 1 1+i を表す点を,それぞれ O A B とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 線分 AB 上の点 z= 1+i t 0 t1 に対し, w=z 3 の実部と虚部を t を用いて表せ.

(2) 点 z が三角形 OAB 上を一周するとき, w=z 3 を満たす点 w の軌跡で囲まれる部分の面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 座標平面上を点 P が次の規則にしたがって動くとする.

1 回サイコロを振るごとに,

1 または 2 の目が出ると, x 軸の正の方向に 1 進む.

3 または 4 の目が出ると, y 軸の正の方向に 1 進む.

5 または 6 の目が出ると,直線 y= x に関して対称な点に動く.ただし,直線 y= x 上にある場合はその位置にとどまる.

 点 P は最初に原点にあるとする.

(1)  4 回サイコロを振った後の点 P が直線 y= x 上にある確率を求めよ.

(2)  m 0 mn を満たす整数とする. n 回サイコロを振った後の点 P が直線 x+ y=m 上にある確率を求めよ.

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