2005　京都大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上の原点と点$(1,2)$を結ぶ線分（両端を含む）を$L$とする．曲線$y=x^2+ax+b$が$L$と共有点を持つような実数の組$(a,b)$の集合を$ab$平面上に図示せよ．

【２】　$2^{10}<{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^n<2^{20}$を満たす自然数$n$は何個あるか．

　ただし，$0.301<{\log }_{10}2<0.3011$である．

【３】　$\alpha \text{，}\beta$は$0$でない相異なる複素数で，

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\bar{\alpha }}{\bar{\beta }}}=2$

を満たすとする．このとき，$0\text{，}\alpha \text{，}\beta$の表す複素平面上の$3$点を結んで得られる三角形はどのような三角形か．（ただし，複素数$z$に対し，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数である．また，複素平面を複素数平面ともいう．）

【４】　$a^3-b^3=65$を満たす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【５】　$1$から$n$までの番号のついた$n$枚の札が袋に入っている．ただし$n\geqq 3$とし，同じ番号の札はないとする．この袋から$3$枚の札を取り出して，札の番号を大きさの順に並べるとき，等差数列になっている確率を求めよ．

【３】　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は相異なる複素数で，

$\alpha +\beta +\gamma ={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=0$

を満たすとする．このとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の表す複素平面上の$3$点を結んで得られる三角形はどのような三角形か．（ただし，複素平面を複素数平面ともいう．）

【４】　$a^3-b^3=217$を満たす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【５】　$k$を正の整数とし，$2k\pi \leqq x\leqq (2k+1)\pi$の範囲で定義された$2$曲線

$C_1:y=\cos x\text{，}{C}_2:y={\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}}$

を考える．

(1)　$C_1$と$C_2$は共有点を持つことを示し，その点における$C_1$の接線は点$(0,1)$を通ることを示せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点はただ$1$つであることを証明せよ．

【６】　先頭車両から順に$1$から$n$までの番号のついた$n$両編成の列車がある．ただし$n\geqq 2$とする．各車両を赤色，青色，黄色のいずれか一色で塗るとき，隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか．