2005　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$xyz$空間に$3$つの定点$\mathrm{A}(-1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,0,2)\text{，}\mathrm{K}(2,k,0)$と線分$\mathrm{AK}$上を動く点$\mathrm{M}$がある．直線$\mathrm{BM}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}(p,q,0)$とおく．$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{AK}$上を動くときに$\mathrm{P}$が描く図形を$L$とおく．

(1)　実数$s\text{，}t$を

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=s\overrightarrow{\mathrm{AK}}\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{），}\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{\mathrm{BM}}$

により定めたとき，$t\text{，}p\text{，}q$を$s$と$k$を用いて表せ．

(2)　$xy$平面上の円周で，原点を中心とし半径$1$のものを$C$とする．$L$と$C$が共有点をもつような$k$の範囲を求めよ．

【２】　$a_1={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$を考える．また，$b_n={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．

(1)　不等式$1-\cos x\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して不等式$b_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{b_n}^2$が成り立つことを示せ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して不等式$0\leqq b_n\leqq {\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}^{2^n-1}$が成り立つことを示せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$があり，時刻$t$における$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が

$\{\begin{array}{c}x=e^t(2+\sin t+\cos t)\\ y=e^t(\sin t-\cos t)\end{array}$

で表されている．時刻$t$における$\mathrm{P}$の速さを$v(t)$とする．

(1)　時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルと$v(t)$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で$\mathrm{P}$の速さが最大となるときの$\mathrm{P}$の位置を${\mathrm{P}}_0$とする．点${\mathrm{P}}_0$における$C$の接線の傾きを求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で

$v\left(t\right)=a{\displaystyle \frac{d}{dt}}(e^t\sin {\displaystyle \frac{t}{2}})+b{\displaystyle \frac{d}{dt}}(e^t\cos {\displaystyle \frac{t}{2}})$

が成り立つように定数$a\text{，}b$を定めよ．

(4)　時刻$t=0$から$t=\pi$までに$\mathrm{P}$が通過する道のりを求めよ．

【４】　自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$のそれぞれに対して，点${\mathrm{A}}_n$が数直線上の座標$n$の位置にある．サイコロを$2$回投げ，次の手順(＊)により，${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4\text{，}{\mathrm{A}}_5\text{，}{\mathrm{A}}_6$を動かす．

(＊)　$1$回目に出たサイコロの目の数を$S\text{，}2$回目に出た目の数を$T$とし，自然数$L\text{，}M$を，$S\leqq T$のときは$L=S\text{，}M=T$により定め，$S>T$のときは$L=T\text{，}M=S$により定める．自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$のそれぞれに対して，$n$が$L\leqq n\leqq M$を満たすときは座標$n+6$の位置に${\mathrm{A}}_n$を動かし，そうでないときは${\mathrm{A}}_n$を動かさない．

　このとき，${\mathrm{A}}_1$の座標を$C$とし，${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4\text{，}{\mathrm{A}}_5\text{，}{\mathrm{A}}_6$の中で，区間$x\leqq 6$にあるものの個数を$X\text{，}$区間$x<C$にあるものの個数を$Y$とする．

(1)　$X=0$となる確率を求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

(3)　$Y=0$となる確率を求めよ．

(4)　$Y$の期待値を求めよ．

【５】　$a$を正の定数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{a^2(e^x-e^{-x})}{e^x+e^{-x}}}-x$の$x\leqq 0$における最大値を求めよ．

【６】　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$xy$平面において，$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}={\sin }^{2}t$によって囲まれる部分を$E_1$とし，楕円${(x-1)}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}={\cos }^{2}t$によって囲まれる部分を$E_2$とする．$E_1$と$E_2$の共通部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．