2005 大阪大学 前期MathJax

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2005 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学))

配点率30%

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 不等式 10 2x 10 6-x をみたす実数 x の範囲を求めよ.

(2)  102 x y 10 5x y 106- x を同時にみたす整数の組 (x ,y) の個数を求めよ.

2005 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学))

配点率35%

理系【1】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  f(x )=2 x3+ x2- 3 とおく.

(1) 関数 f (x) の増減表を作り, y=f (x) のグラフの概形を描け.

(2) 直線 y= mx が曲線 y= f(x ) と相異なる 3 点で交わるような実数 m の範囲を求めよ.

2005 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学))

配点率35%

易□ 並□ 難□

【3】 数列 {a n}

a1= 1 3 1a n+1 -1 an =1 n= 1 2 3

で定め,数列 {b n}

b1= a1 a1 bn+ 1- bn= an+ 1 an+ 2 n=1 2 3

で定める.

(1) 一般項 a n n を用いて表せ.

(2) 一般項 b n n を用いて表せ.

2005 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

文系【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】  f(x )=2 x3+ x2- 3 とおく.直線 y =mx が曲線 y =f( x) と相異なる 3 点で交わるような実数 m の範囲を求めよ.

2005 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【2】 正の整数 n に対して

S(n )= p=1 2n (-1) p-1 p T(n )= q=1 n 1 n+q

とおく.等式 S (n)= T(n ) n=1 2 3 が成り立つことを,数学的帰納法を用いて表せ.

2005 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【3】 空間内の 4 A B C D

をみたしている.この 4 点から等距離にある点を E とする.線分 AE の長さを求めよ.

2005 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【4】  θ 0 θ<2 π をみたす実数とする.時刻 t における座標が

{ x=t cos θ y=1- t2 +t sinθ

で与えられるような動点 P (x, y) を考える. t が実数全体を動くとき,点 P が描く曲線を C とする. C x 軸の x 0 の部分と交わる点を Q とする.以下の問いに答えよ.

(1)  θ= π 4 のとき, Q x 座標を求めよ.

(2)  θ が変化すると曲線 C も変化する. θ 0 θ< 2π の範囲を変化するとき, C が通過する範囲を x y 平面上に図示せよ.

(3)  θ が変化すると点 Q も変化する. Q x 座標が最大となるような θ 0 θ< 2 π について tan θ の値を求めよ.

2005 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【5】  n を正の整数, a を正の実数とする.曲線 y =xn と曲線 y =alog x が,点 P で共通の接線をもつとする.ただし,対数は自然対数である.点 P x 座標を t とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a t をそれぞれ n を用いて表せ.

(2) 曲線 y= xn x 軸および直線 x =t で囲まれる部分の面積を S 1 とする.また,曲線 y =alog x x 軸および直線 x =t で囲まれる部分の面積を S 2 とする.このとき, S 2S 1 n を用いて表せ.

(3)  x0 のとき,不等式

x 22- x3 6 e-x +x- 1 x22

が成り立つことを,次の(a),(b)に分けて示せ.ただし, e は自然対数の底とする.

(a)  x0 のとき,不等式 e -x +x-1 x2 2 が成り立つことを示せ.

(b)  x0 のとき,不等式 x2 2- x36 e -x +x-1 が成り立つことを示せ.

(4) 極限値 lim n S 2S1 を求めよ.

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