2005　大阪大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を正の定数とし，次の$2$つの曲線

$C_1:y=a{x}^2\text{，}{C}_2:y=-a{x}^2+2abx$

によって囲まれる領域を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_x\text{，}S$を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_y$とする．このとき，比${\displaystyle \frac{V_x}{V_y}}$を求めよ．

【２】　$1$枚の硬貨を繰り返し投げる試行を前半と後半に分けて行った．前半では$103$回以上の試行を行った結果，表が出た割合は小数第$4$位を四捨五入して$0.510$となった．後半では$200$回の試行を行った結果，表が$99$回出た．これにより前半と後半をとおして表が出た割合はちょうど$0.5$となった．このとき，前半で硬貨を投げた回数を求めよ．

【３】　複素数平面上の点$z$が原点を中心とする半径$1$の円周上を$1$周するとき，

$w=2\sqrt{2}z-z^2$

で表される点$w$の軌跡が虚軸と交わる回数を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，$xy$平面上に原点を中心とする半径$2$の円$C$がある．また，点$(0,1,0)$を通りベクトル$(1,1,-2)$に平行な直線を$l$とする．この$l$上の動点$\mathrm{P}$から最短距離にある$C$上の点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$l$の全体を動くとき，点$\mathrm{Q}$が動く範囲を図示せよ．

【５】　関数$y=f(x)$は，実数全体で微分可能で導関数$f^{\prime }(x)$は連続とする．$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{4}}$で極大値${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で極小値$-{\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}x={\displaystyle \frac{3}{4}}$で極大値$1$をとり，その他の$x$では極値をとらないとする．また

$f(0)=f(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$

であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を$-1<x<3$の範囲で描け．

(2)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$とおくとき，$y=F(x)$のグラフの概形を$0\leqq x\leqq 1$の範囲で描け．

(3)　$F(x)$の第$2$次導関数$F^{″}(x)$の$x={\displaystyle \frac{1}{4}}$における値を求めよ．