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2005-10601-0201
2005 神戸大学 後期
経済学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 1 個のサイコロを何回か振って,出た目の数の合計を得点とする.ただし,出た目の数の合計が 7 以上のときは得点は 0 点とする.次の問に答えよ.
(1) あらかじめサイコロを振る回数を決めておくとする.サイコロを振る回数が n 回のときの得点の期待値を an とする. a 1 ,a 2 ,a 3 を求めよ.
(2) サイコロは 2 回振るものとし, 1 回目に振ったときに出た目が k であるとする.このとき, 2 回目を振ったときの得点の期待値を bk とする. k<b k となる k をすべて求めよ.
2005-10601-0202
経済学部,理科系共通
経済学部は配点25点
理科系は【1】,30点で,角度はラジアン
【2】 α を 0 でない複素数とする.複素数平面上に 2 点 P( α), Q(-α ) をとる.点 Q を点 P のまわりに θ ( 0°<θ <180° ) だけ回転して得られる点を R( β) とし, 3 点 P ,Q , R を通る円の中心を C (z) とする.次の問に答えよ.
(1) 線分 PQ の中点 M と C を結ぶ線分の長さは,線分 PM の長さの tan ⁡ θ 2 倍であることを示せ.
(2) z を α と tan⁡ θ2 で表せ.
(3) β=3⁢ z のとき,三角形 PQR は正三角形であることを示せ.
2005-10601-0203
【3】 a ,b は実数とし, a>0 とする.関数 f⁡ (x)= x3- 3⁢a 2⁢x +b について,次の問に答えよ.
(1) f⁡(x ) の極大値と極小値を求めよ.
(2) 極大値と極小値の絶対値が等しいとき, b の値を求めよ.
(3) b が(2)で求めた値をとるとき,直線 y= m⁢x+ n が y= f⁡(x ) の接線であるならば,直線 y= m⁢x- n も y= f⁡(x ) の接線であることを示せ.
2005-10601-0204
理科系
配点30点
【2】 a を実数とし, a≧1 とする.数列 {a n} を
a1= a, an+ 1= 5 ⁢an -42 ⁢an -1 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
により定義する.また, A=( 5 -4 2- 1) ,P= (1 2 11 ) とする.次の問に答えよ.
(1) P-1 ⁢A⁢ P を求めよ.
(2) n を自然数とする. An を求めよ.
(3) 行列 ( pn qn rn sn )( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) を ( pn qn rn sn )= An-1 で定める.ただし, A0 =( 10 0 1) とする.
すべての自然数 n に対して
an= p n⁢a+ qn rn⁢ a+sn
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ.
2005-10601-0205
【3】 f⁡(x ) を区間 (-∞ ,∞) において連続で,かつ常に f⁡ (x)> 0 である関数とする.関数 g⁡ (x) を
g⁡(x )= 1x⁢ ∫0 x⁡ f⁡(t )⁢dt ( x≠ 0)
により定義する.次の問に答えよ.
(1) limx→ 0⁡ g⁡(x )=f⁡ (0) であることを示せ.
(2) x>0 で f⁡ (x) が増加するならば, x>0 で常に f⁡ (x)> g⁡(x ) であることを示せ.ただし, x>0 で f⁡ (x) が増加するとは,任意の正の実数 s ,t に対し, s<t ならば f⁡ (s)< f⁡(t ) を満たすときをいう.
(3) x>0 で f⁡ (x) が増加するならば, x>0 で g⁡ (x) も増加することを示せ.
2005-10601-0206
【4】 n を自然数とする.次の問に答えよ.
(1) 極限値 lim n→∞ ⁡ 1n⁢ ( cos⁡ π2⁢π +cos ⁡ 2 ⁢π2 ⁢n +cos⁡ 3⁢π 2⁢n +⋯+ cos⁡ n ⁢π2 ⁢n ) を求めよ.
(2) k=0 ,1 ,2 ,⋯ ,n-1 に対し,関数 fk ⁡(x ) を
fk⁡ (x)= sin⁡ π ⁢x2 -sin⁡ k⁡π 2⁢n
で定める. k n≦ x≦ k+1 n のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
( π ⁢x2 - k⁢π 2⁢n ) ⁢cos⁡ (k+1 )⁢π 2⁢n ≦f k⁡(x )≦( π ⁢x2 - k⁢π 2⁢n ) ⁢cos⁡ k ⁢π2 ⁢n
(3) k=0 ,1 ,2 ,⋯ ,n-1 に対し,
ak= ∫ kn k+1n ⁡ fk⁡ (x)⁢ dx
とする.極限値 lim n→∞ ⁡n⁢ ∑ k=0 n-1 ⁡a k を求めよ.
2005-10601-0207
【5】 次の問に答えよ.
(1) 生徒 6 人から 2 人ずつの組を 3 組作る作り方の総数を求めよ.
(2) 生徒 14 人から 2 人ずつの組を n 組( n= 1, 2 ,3 , ⋯, 7 )作る作り方の総数を Sn とする. Sn を n の式で表せ.
(3) S n+1 Sn >1 を満たす n をすべて求めよ.
(4) Sn を最大にする n をすべて求めよ.