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2005 神戸大学 後期

経済学部

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】  1 個のサイコロを何回か振って,出た目の数の合計を得点とする.ただし,出た目の数の合計が 7 以上のときは得点は 0 点とする.次の問に答えよ.

(1) あらかじめサイコロを振る回数を決めておくとする.サイコロを振る回数が n 回のときの得点の期待値を an とする. a 1 a 2 a 3 を求めよ.

(2) サイコロは 2 回振るものとし, 1 回目に振ったときに出た目が k であるとする.このとき, 2 回目を振ったときの得点の期待値を bk とする. k<b k となる k をすべて求めよ.

2005 神戸大学 後期

経済学部,理科系共通

経済学部は配点25点

理科系は【1】,30点で,角度はラジアン

易□ 並□ 難□

【2】  α 0 でない複素数とする.複素数平面上に 2 P( α) Q(-α ) をとる.点 Q を点 P のまわりに θ 0°<θ <180° だけ回転して得られる点を R( β) とし, 3 P Q R を通る円の中心を C (z) とする.次の問に答えよ.

(1) 線分 PQ の中点 M C を結ぶ線分の長さは,線分 PM の長さの tan θ 2 倍であることを示せ.

(2)  z α tan θ2 で表せ.

(3)  β=3 z のとき,三角形 PQR は正三角形であることを示せ.

2005 神戸大学 後期

経済学部

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】  a b は実数とし, a>0 とする.関数 f (x)= x3- 3a 2x +b について,次の問に答えよ.

(1)  f(x ) の極大値と極小値を求めよ.

(2) 極大値と極小値の絶対値が等しいとき, b の値を求めよ.

(3)  b が(2)で求めた値をとるとき,直線 y= mx+ n y= f(x ) の接線であるならば,直線 y= mx- n y= f(x ) の接線であることを示せ.

2005 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  a を実数とし, a1 とする.数列 {a n}

a1= a an+ 1= 5 an -42 an -1 n=1 2 3

により定義する.また, A=( 5 -4 2- 1) P= (1 2 11 ) とする.次の問に答えよ.

(1)  P-1 A P を求めよ.

(2)  n を自然数とする. An を求めよ.

(3) 行列 ( pn qn rn sn ) n=1 2 3 ( pn qn rn sn )= An-1 で定める.ただし, A0 =( 10 0 1) とする.

 すべての自然数 n に対して

an= p na+ qn rn a+sn

が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ.

2005 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  f(x ) を区間 (- ,) において連続で,かつ常に f (x)> 0 である関数とする.関数 g (x)

g(x )= 1x 0 x f(t )dt x 0

により定義する.次の問に答えよ.

(1)  limx 0 g(x )=f (0) であることを示せ.

(2)  x>0 f (x) が増加するならば, x>0 で常に f (x)> g(x ) であることを示せ.ただし, x>0 f (x) が増加するとは,任意の正の実数 s t に対し, s<t ならば f (s)< f(t ) を満たすときをいう.

(3)  x>0 f (x) が増加するならば, x>0 g (x) も増加することを示せ.

2005 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数とする.次の問に答えよ.

(1) 極限値 lim n 1n ( cos π2π +cos 2 π2 n +cos 3π 2n ++ cos n π2 n ) を求めよ.

(2)  k=0 1 2 n-1 に対し,関数 fk (x )

fk (x)= sin π x2 -sin kπ 2n

で定める. k n x k+1 n のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.

( π x2 - kπ 2n ) cos (k+1 )π 2n f k(x )( π x2 - kπ 2n ) cos k π2 n

(3)  k=0 1 2 n-1 に対し,

ak= kn k+1n fk (x) dx

とする.極限値 lim n n k=0 n-1 a k を求めよ.

2005 神戸大学 後期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】 次の問に答えよ.

(1) 生徒 6 人から 2 人ずつの組を 3 組作る作り方の総数を求めよ.

(2) 生徒 14 人から 2 人ずつの組を n 組( n= 1 2 3 7 )作る作り方の総数を Sn とする. Sn n の式で表せ.

(3)  S n+1 Sn >1 を満たす n をすべて求めよ.

(4)  Sn を最大にする n をすべて求めよ.

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