2005　広島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$P(x)$は，$x^3$の係数が$1$であるような$3$次式とする．$P(x)$を${(x+1)}^2$で割ったときの余りは$x+1$であり，${(x-1)}^2$で割ったときの余りは$x+c$である．ただし，$c$は定数である．このとき，$c$の値と$P(x)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　正の実数$x\text{，}y$が$xy=100$を満たすとき，

${({\log }_{10}x)}^3+{({\log }_{10}y)}^3$

の最小値と，そのときの$x$と$y$の値を求めよ．

【２】　$2$つの円

(＊)　$x^2+y^2+(2\sqrt{2}\sin \theta )x-{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}y+{\sin }^2\theta +{\displaystyle \frac{17}{16}}=0$

(＊＊)　$x^2+y^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$

について，次の問いに答えよ．ただし，$0°<\theta <180°$とする．

(1)　円(＊)の半径と中心の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　円(＊)と円(＊＊)が共有点をもたないような$\theta$の値の範囲を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{AB}=4$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=k\overrightarrow{a}$を満たす実数$k$の値を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PE}$の長さを求めよ．

【４】　$1$枚のコインを$1$回投げて，三角形$\mathrm{ABC}$の$1$つの頂点にある駒を，

表が出たとき，左回りで隣の頂点に移し，

裏が出たとき，右回りで隣の頂点に移す

という試行を考える．初めに駒を頂点$\mathrm{A}$に置く．次の問いに答えよ．

(1)　この試行を$2$回繰り返したとき，駒が頂点$\mathrm{A}$にある確率$P_2$を求めよ．

(2)　この試行を$3$回繰り返したとき，駒が頂点$\mathrm{A}$にある確率${\mathrm{P}}_3$を求めよ．

(3)　この試行を$4$回繰り返したときに，駒が頂点$\mathrm{A}$に初めてもどってくる確率$Q_4$を求めよ．

(4)　この試行を$n$回（$n\geqq 2$）繰り返したときに，駒が頂点$\mathrm{A}$に初めてもどってくる確率$Q_n$を求めよ．

【５】　各実数$t$に対して，方程式

$y=(2t-3)x-t^2$

で表される直線$L_t$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　直線$L_t$と$L_s$が直交するとき，$L_t$と$L_s$の交点の$y$座標は，$t$と$s$によらない定数になることを示せ．

(2)　放物線$y=a{x}^2+bx+c$にすべての直線$L_t$が接するとき，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた放物線と$2$つの直線$L_t\text{，}{L}_{t+2}$によって囲まれる図形の面積は，$t$によらない定数になることを示せ．

【１】　行列$I$と$J$が

$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right)$

であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　行列

$J^2\text{，}{J}^3\text{，}{J}^4$

は，それぞれ，$I$または$J$の定数倍になることを示せ．

(2)　実数$a$と$b$について，行列

$aI+bJ$

が逆行列をもつための必要十分条件を求めよ．

(3)　任意の実数$s\text{，}t$に対して，行列

$sI+(1+st)J+t{J}^2+s{t}^2{J}^3+t^2{J}^4$

は逆行列をもつことを示せ．

【２】　正の実数$a\text{，}b\text{，}c$を係数とする$3$次方程式

(＊)　$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

が，純虚数の解をもつとする．次の問いに答えよ．

(1)　$ab-c$の値を求めよ．

(2)　複素数平面上で方程式$x^3+8=0$の$3$個の解が表す点を頂点とする三角形を考える．方程式(＊)の解が表すすべての点がこの三角形の頂点または辺上にあるとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【３】　$2$枚のコインを$1$回投げて，三角形$\mathrm{ABC}$の$1$つの頂点にある駒を，

$2$枚とも表が出たとき，左回りで隣の頂点に移し，

$2$枚とも裏が出たとき，右回りで隣の頂点に移し，

表と裏が出たとき，動かさない

という試行を考える．初めに駒を頂点$\mathrm{A}$に置く．この試行を$n$回繰り返したとき，$1$回目の試行後の駒の位置を${\mathrm{X}}_1\text{，}2$回目の試行後の駒の位置を${\mathrm{X}}_2\text{，}\cdots \text{，}n$回目の試行後の駒の位置を${\mathrm{X}}_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　この試行を$2$回繰り返したとき，${\mathrm{X}}_2$が$\mathrm{A}$である確率$P_2$を求めよ．

(2)　この試行を$4$回繰り返したとき，最後の${\mathrm{X}}_4$のみが$\mathrm{A}$である確率${\mathrm{Q}}_4$を求めよ．

(3)　この試行を$n$回（$n\geqq 2$）繰り返したとき，最後の${\mathrm{X}}_n$のみが$\mathrm{A}$である確率$Q_n$を求めよ．

(4)　この試行を$n$回（$n\geqq 2$）繰り返したとき，${\mathrm{X}}_n$が$\mathrm{A}$である確率$P_n$ を求めよ．　

【４】　実数全体で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{4x+a}{x^2+1}}$

は，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で極値をもつ．ただし，$a$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=4x^3-3x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$の増減を調べて極値を求めよ．

(2)　公式

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

を用いて，$k=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$は方程式$f(x)=0$の解であることを示せ．

(3)　$k>{\displaystyle \frac{3}{4}}$であることを示せ．

(4)　方程式$\cos x=x$の解を$\alpha$とするとき，

${\displaystyle \frac{2\pi }{9}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

を示せ．ここで，$3.14<\pi <3.15$を利用してもよい．