2005　広島大学　後期MathJax

【１】　$\sqrt{2}$は無理数であることを既知として，次の問いに答えよ．

(1)　有理数$a\text{，}b$が$a+b\sqrt{2}=0$を満たすとき，$a=0\text{，}b=0$を証明せよ．

(2)　有理数$a\text{，}b$が$(3+\sqrt{8})a+(2-\sqrt{2})b=1+\sqrt{18}$を満たすとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OBA}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=m\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．また，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　頂点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$m$を用いて表せ．

(2)　各頂点から対辺またはその延長上に下ろした垂線は$1$点で交わり，三角形の垂心と呼ばれる．$▵\mathrm{OAB}$の垂心を$\mathrm{T}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と$m$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の重心と垂心が一致するための必要十分条件は，$▵\mathrm{OAB}$が正三角形であることを示せ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$つの袋に，玉がそれぞれ$2$個ずつ入っている．いま，硬貨$1$個を投げ，表が出れば$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に玉を$1$個移し，裏が出れば$\mathrm{B}$から$\mathrm{A}$に玉を$1$個移す．この操作を繰り返し，どちらかの袋の中の玉がなくなったとき終了する．次の問いに答えよ．

(1)　硬貨を$2$回投げたとき，終了する確率を求めよ．

(2)　硬貨を$n$回投げたとき，ちょうど終了する確率を求めよ．

(3)　終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値を求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}(x^2-2\log |x|-1)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフをかけ．

(2)　$a>0$とする．曲線$y=f(x)$の$x=a+1$から$x=2a+1$までの長さ$L(a)$を求めよ．

(3)　極限$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{L(a)}{a^2}}$の値を求めよ．

【５】　$f(x)={\displaystyle \frac{4\cos x+2\sin 2x}{3}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$における最大値を求めよ．

(2)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\{2\sqrt{3}-f(x)\}dx$を計算せよ．

(3)　関数$g(t)={\displaystyle \frac{t^2}{2\sqrt{3}+t}}$の区間$[0,\sqrt{3}]$における最大値を求めよ．

(4)　区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$において，不等式

$0<{\displaystyle \frac{12}{2\sqrt{3}+f(x)}}-\{2\sqrt{3}-f(x)\}<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

が成立することを示せ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{12}{2\sqrt{3}+f(x)}}dx$の値を$J$とするとき，

$|J-I|<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{6}}$

を示せ．

【１】　$n$を自然数とする．だ円

${\displaystyle \frac{x^2}{4n^2}}+y^2=1$

と双曲線

${\displaystyle \frac{x^2}{n^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{n^2}}=1$

の第$1$象限における交点の座標を$(a_n,b_n)$で表すとき，次の極限を求めよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{n}}$

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n(a_n-n)$

【２】　$\alpha$を実数とする．零ベクトルでないベクトル$\overrightarrow{a}=({\alpha }^2+\alpha ,\alpha +1)\text{，}\overrightarrow{b}=(\alpha ,-1)$と行列

$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -1\\ {\alpha }^2+\alpha & \alpha +1\end{array}\right)$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$\alpha$の値を定めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行であるとき，$\alpha$の値を求めよ．

(3)　行列$A$が逆行列を持つための$\alpha$の条件を求めよ．

【３】　$a$と$b$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=a{x}^2$と$y=1-b{x}^2$を考える．放物線$y=1-b{x}^2$と$x$軸で囲まれた図形の面積が$2$つの放物線で囲まれた図形の面積の$2$倍であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$を$b$であらわせ．

(2)　$2$つの放物線の交点が，$a$と$b$によらない直線上にあることを証明せよ．

【４】　$n$を自然数とする．箱の中に$1$から$n$までの数字が$1$つずつ記入されたカードが，それぞれの数$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$について$k$枚ずつ入っている．この箱からカードを$1$枚取り出す試行を$n$回行う．ただし，$1$回目に取り出したカードは箱の中にもどしてから，$2$回目の試行を行うものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回目に取り出したカードに記入された数字が$k$である確率$P_k$を$n$と$k$を用いて表せ．また，取り出したカードに記入された数の期待値$E_n$を求めよ．

(2)　$1\leqq i\leqq n$をみたす自然数$i$に対して，$2$回の試行で出た数の和が$i$となる確率$Q_i$を$n$と$i$を用いて表せ．

(3)　$2$回の試行で出た数の和が$n$以下となる確率を$R_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n$を求めよ．

【５】　$a$を正の定数とする．第$1$象限内の曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x^{a+1}}}$に接し，原点を中心とする円$C$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　円$C$の半径$r$を$a$を用いて表せ．

(2)　$1<r<\sqrt{2}$であることを示せ．