2005 九州大学 前期MathJax

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2005 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  a を正の実数とし,点 A (0 ,a+ 12 a ) と曲線 C: y=a x2 x 0 を考える.曲線 C 上の点で,点 A との距離が最小となるものを P とする.このとき次の問いに答えよ.

(1) 点 P の座標と線分 AP の長さを求めよ.

(2) 曲線 C y 軸,および線分 AP で囲まれる図形の面積 S (a) を求めよ.

(3)  a>0 のとき,面積 S (a) の最小値を求めよ.また,そのときの a の値を求めよ.

2005 九州大学 前期

文系・理系共通

(文,教育,法,経済(経済,経営),医(看護))

理系(経済(経済工),工,芸術工,

農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

ただし理系では【3】

易□ 並□ 難□

【2】  t を実数とするとき, 2 次方程式

z2+ tz+ t=0

について,次の問いに答えよ.

(1) この 2 次方程式が異なる 2 つの虚数解をもつような t の範囲と,そのときの虚数解をすべて求めよ.

(2) (1)の虚数解のうち,その虚部が正のものを z (t) で表す. t が(1)で求めた範囲を動くとき,複素数平面上で点 z (t) が描く図形 C を求め,図示せよ.

(3) 複素数平面上で,点 z が(2)の図形 C 上を動くとき,

w= iz z+1

で表される点 w が描く図形を求め,図示せよ.

2005 九州大学 前期

文系・理系共通

(文,教育,法,経済(経済,経営),医(看護))

理系(経済(経済工),工,芸術工,

農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

ただし理系では【4】,また理系では弧度法表示

易□ 並□ 難□

【3】 実数 x に対して, [x] x を超えない最大の整数を表す.例えば, [ 32 ]=1 [2]= 2 である.このとき, 0°< θ<180 ° として次の問いに答えよ.ただし,必要なら sin α= 12 2 となる角 α 0°<α <90° を用いてよい.

(1) 不等式 log 2[ 52 +cos θ] 1 を満たす θ の範囲を求めよ.

(2) 不等式 [ 3 2+ log2 sinθ ]1 を満たす θ の範囲を求めよ.

(3) 不等式 log 2 [ 5 2+cos θ] 0 [ 32 +log2 sinθ ] を満たす θ の範囲を求めよ.

2005 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  1 つのさいころを 4 回投げて,出た目の数を順に x 1 x2 x3 x4 とする.このとき次の問いに答えよ.

(1)  x1< x2 となる確率を求めよ.

(2)  x1< x2< x3 となる確率を求めよ.

(3)  x1< x2 かつ x2 x3 となる確率を求めよ.

(4)  xk xk+ 1 となる最小の自然数 k の期待値を求めよ.ただし, x1< x2< x3< x4 のときは k= 4 と定める.

2005 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,

農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 直線 l:y =x+a が曲線 C: y=2 sinx -π xπ に接しているとき,次の問いに答えよ.ただし, a0 とする.

(1)  a の値を求めよ.

(2) 曲線 C と直線 l で囲まれた図形の y 0 の範囲にある部分を, x 軸のまわりに回転する.この回転体の体積を求めよ.

2005 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,

農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A と列ベクトル a b

A= 12 ( 11 0 1 ) a =( 1 0) b =( 0 1 )

とし,列ベクトル p n n= 1 2

p1 = a pn +1 =A pn + b n= 1 2

で定める.このとき次の問いに答えよ.

(1)  p =A p+ b を満たす列ベクトル p を求めよ.

(2)  qn = pn -p n =1 2 とおく. q n+1 q n の間に成り立つ関係式を求めよ.

(3)  n=1 2 に対して An を求めよ.

(4)  pn n=1 2 を求めよ.

2005 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,

農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【5】 実数 t t 0 の範囲を動くとき, xy 平面上で点 P (t 2,e -t ) が描く曲線を C とする. a を正の実数とし,曲線 C x 軸, y 軸,および直線 x= a2 で囲まれる部分の面積を S (a) とする.このとき次の問いに答えよ.

(1) 面積 S (a) を求めよ.

(2)  a>0 の範囲で関数 S (a) の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形を描け.ただし, lima a e-a =0 であることを用いてよい.

(3)  S(a )=1.35 となる a 2< a<3 の範囲に存在することを示せ.ただし,必要なら 2.5< e<3 であることを用いてよい.

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