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2005-10842-0201
2005 九州大学 後期理学部
数学科
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡(x ,y)= 4⁢( x2+x ⁢y+y 2)- 11⁢(x +y)+ 6, g⁡( x)= 4⁢x 3-11 ⁢x2 +6⁢x とおく.このとき,次の問に答えよ.
(1) x≠y のとき, g⁡(x )=g⁡ (y) は f⁡ (x,y )=0 が成り立つための必要十分条件であることを示せ.
(2) g⁡(- 1) ,g⁡ (0) ,g⁡ (1) ,g⁡ (2) ,g⁡ (3) の値を求めよ.さらに,関数 g⁡ (x) の増減を調べ,グラフの概形を図示せよ.
(3) f⁡(x ,y)= 0 かつ x< y をみたす整数 x , y の組をすべて求めよ.
2005-10842-0202
【2】 右図のような一辺の長さが 1 の立体 OABC- DEFG を考える.辺 AE の中点を M , 辺 DG の中点を N とする. X を辺 DE 上の点, Y を辺 BC 上の点とし, DX の長さを x , CY の長さを y とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 4 点 X ,M ,Y ,N が同一平面上にあるための必要十分条件を x と y を用いて表せ.
(2) x ,y が問(1)の条件をみたしながら動くとき,三角形 XMY の面積の最小値と最大値を求めよ.また,そのときの x , y の組をすべて求めよ.
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【3】 初項 1 , 公比 x の等比数列の初項から第 n 項までの和を f n⁡ (x ) とおく.各自然数 N に対して, x の方程式
∑n |N ⁡f n⁡( x)=2 ⁢fN ⁡(x ) (*)
を考える.ここで,一般に数列 a 1 ,a2 , a3 , ⋯ に対して,
∑n |N ⁡a n
は, N のすべての約数 n にわたる a n の和を表す.たとえば, N=11 , 12 ならば,
である.このとき,次の問に答えよ.
(1) x=1 が(*)の解となるような 10 未満の自然数 N をすべて求めよ.
(2) n が 2 以上のとき, 0≦x< y ならば 1 ≦fn ⁡( x)< fn⁡ (y) となることを示せ.
(3) x≧0 のとき, x が(*)をみたすことと
∑n | N⁡ 1 f Nn ⁡( xn ) =2 (**)
をみたすことは同値であることを示せ.
(4) N が 2 以上ならば,(*)が 0≦ x<2 の範囲に唯一つの解を持つことを示せ.
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【4】 xy 平面内に,点 A( 0,1) を中心とする半径 1 の円と,それに接する直線 l がある.次の条件(a),(b)をともにみたす点 P 全体のなす領域を D とする.
(a) 点 P から点 A までの距離は点 P から x 軸までの距離以下である.
(b) 点 P は直線 l に関して点 A と同じ側にある.
ただし,直線 l は次の条件(c)をみたすような配置になっているとする.
(c) 領域 D は点 A を始点とする半直線を一つも含まない.
このとき,次の問に答えよ.
(1) 領域 D の概形を図示せよ.
(2) 直線 l が条件(c)をみたしながら動くとき, D の面積の最小値を求めよ.