2005　九州大学　後期理学部MathJax

【１】　$f(x,y)=4(x^2+xy+y^2)-11(x+y)+6\text{，}g(x)=4x^3-11x^2+6x$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$x\ne y$のとき，$g(x)=g(y)$は$f(x,y)=0$が成り立つための必要十分条件であることを示せ．

(2)　$g(-1)\text{，}g(0)\text{，}g(1)\text{，}g(2)\text{，}g(3)$の値を求めよ．さらに，関数$g(x)$の増減を調べ，グラフの概形を図示せよ．

(3)　$f(x,y)=0$かつ$x<y$をみたす整数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【２】　右図のような一辺の長さが$1$の立体$\mathrm{OABC}-\mathrm{DEFG}$を考える．辺$\mathrm{AE}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{DG}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{X}$を辺$\mathrm{DE}$上の点，$\mathrm{Y}$を辺$\mathrm{BC}$上の点とし，$\mathrm{DX}$の長さを$x\text{，}\mathrm{CY}$の長さを$y$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$4$点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{N}$が同一平面上にあるための必要十分条件を$x$と$y$を用いて表せ．

(2)　$x\text{，}y$が問(1)の条件をみたしながら動くとき，三角形$\mathrm{XMY}$の面積の最小値と最大値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【３】　初項$1\text{，}$公比$x$の等比数列の初項から第$n$項までの和を$f_n(x)$とおく．各自然数$N$に対して，$x$の方程式

${\displaystyle \sum _{n|N}}{f}_n(x)=2f_N(x)$(＊)

を考える．ここで，一般に数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$に対して，

${\displaystyle \sum _{n|N}}{a}_n$

は，$N$のすべての約数$n$にわたる$a_n$の和を表す．たとえば，$N=11\text{，}12$ならば，

• ${\displaystyle \sum _{n|11}}{a}_n=a_1+a_{11}\text{，}$
• ${\displaystyle \sum _{n|12}}{a}_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_{12}$

である．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$x=1$が(＊)の解となるような$10$未満の自然数$N$をすべて求めよ．

(2)　$n$が$2$以上のとき，$0\leqq x<y$ならば$1\leqq f_n(x)<f_n(y)$となることを示せ．

(3)　$x\geqq 0$のとき，$x$が(＊)をみたすことと

${\displaystyle \sum _{n|N}}{\displaystyle \frac{1}{f_{\frac{N}{n}}(x^n)}}=2$(＊＊)

をみたすことは同値であることを示せ．

(4)　$N$が$2$以上ならば，(＊)が$0\leqq x<2$の範囲に唯一つの解を持つことを示せ．

【４】　$xy$平面内に，点$\mathrm{A}(0,1)$を中心とする半径$1$の円と，それに接する直線$l$がある．次の条件(a)，(b)をともにみたす点$\mathrm{P}$全体のなす領域を$D$とする．

(a)　点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{A}$までの距離は点$\mathrm{P}$から$x$軸までの距離以下である．

(b)　点$\mathrm{P}$は直線$l$に関して点$\mathrm{A}$と同じ側にある．

　ただし，直線$l$は次の条件(c)をみたすような配置になっているとする．

(c)　領域$D$は点$\mathrm{A}$を始点とする半直線を一つも含まない．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　領域$D$の概形を図示せよ．

(2)　直線$l$が条件(c)をみたしながら動くとき，$D$の面積の最小値を求めよ．