2005　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　中心が原点$\mathrm{O}$である半径$1$の球上に，四点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$を四面体の頂点となるようにとる．この四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$の各辺${\mathrm{A}}_i{\mathrm{A}}_j$の中点を${\mathrm{A}}_{ij}$とする．ただし，$i\text{，}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}i<j$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　三つの線分${\mathrm{A}}_{12}{\mathrm{A}}_{34}\text{，}{\mathrm{A}}_{14}{\mathrm{A}}_{23}\text{，}{\mathrm{A}}_{13}{\mathrm{A}}_{24}$は一点$\mathrm{G}$で交わることを示せ．

(2)　(1)の点$\mathrm{G}$に関する点$\mathrm{O}$の対称点を$\mathrm{M}$とする．また，四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$の頂点${\mathrm{A}}_i$を除いた三つの頂点でできる三角形の重心を${\mathrm{K}}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$とする．このとき，

${\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\left|\overrightarrow{\mathrm{M}{\mathrm{K}}_i}\right|}^2+{\displaystyle \frac{2}{9}}L$

の値を求めよ．ただし，$L$は四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$の各辺の長さの$2$乗の和とする．

【２】　$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$とする．$A_0=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とし，一つのサイコロを振り，$n$回目$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$に出た目によって行列$A_n$を次の手順で定める．

• ・　$n$回目のサイコロの目が$1\text{，}2\text{，}3$のとき，${\mathrm{A}}_{n-1}$の$(1,1)$成分に出た目を加えた数を$A_n$の$(1,1)$成分とする．他の成分は$A_{n-1}$の成分をそのまま$A_n$の成分とする．
• ・　$n$回目のサイコロの目が$4\text{，}5$のとき，$A_{n-1}$の右側から行列$B$をかける．つまり$A_n=A_{n-1}B$である．
• ・　$n$回目のサイコロの目が$6$のとき，$A_{n-1}$の左側から行列$B$をかける．つまり$A_n=B{A}_{n-1}$である．

　たとえば，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出たサイコロの目がそれぞれ$1\text{，}4\text{，}6$とすると，

$A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}{A}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}{A}_3=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

となる．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& ☆\end{array}\right)$となる確率を求めよ．ただし，$☆$は$0$以外の数字である．

(2)　$A_3=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$となる確率を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して$A_n\ne \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$となる確率$p_n$を求めよ．

(4)　正の整数$n$に対して$A_n$のすべての成分が$0$以外の数となる確率を$q_n$とする．$q_n\ne 0$となる最小の$n$を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とし，楕円

$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+y^2=1$

を考える．

(1)　$x$座標，$y$座標が共に正である$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$と，$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さが最小となる点$\mathrm{P}$の座標，およびそのときの接線$l$を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線$l$に関して$C$を対称移動して得られる図形を$C^{\prime }$とする．$C^{\prime }$が$x$軸との共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とし，二つの曲線

• $y=a{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}x\text{（}x\geqq 0\text{）}\cdots \text{①}$
• $x=4(y-y^3)\text{（}y\geqq 0\text{）}\cdots \text{②}$

を考える．これらは原点以外の点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$において共通の接線を持っている．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ．

(2)　$\text{①}$と$\text{②}$で囲まれた部分の面積を求めよ．