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2005 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【1】 平面上の 3 A ( a1, a2) B( b1, b2) C( c1, c2) を頂点とする三角形を考える.

(1)  ABC の重心 G の座標を求めよ.

(2) 線分 AG BG CG 5: 3 に外分する点をそれぞれ D E F とする. D E F の座標を求めよ.

(3)  DEF ABC と相似であることを示せ.

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人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【2】  1 より大きい正の実数 a b と自然数 m が次の等式を満たすものとする.

log2 2m- 1 a=log 2b

(1)  a b の式で表せ.

(2) 方程式 ax (a x+b m)= bm- 1 ax+ a を満たす実数 x m で表せ.

補足説明: 2 行目の左辺の対数の底は, 2 (2 m-1) 乗です.

2005 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

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【3】  θ の関数 f (θ)= 3sin θ+3 cosθ+ 3sin θcos θ+2 sin3 θ+2 cos3 θ について次の問いに答えよ.

(1)  x=sin θ+cos θ とおくとき, f(θ ) x の式で表せ.

(2)  0°θ <360° における f (θ) の最小値と最大値を求めよ.またそのときの θ の値を求めよ.

2005 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

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【4】  1 から B までの数を一つずつ書いた B 枚のカードが 2 組ある.それぞれの組から 1 枚ずつカードを取り,二つの数が異なるときは,大きい数の 2 倍から小さい数を引いた数を X とし,二つの数が等しいときはその数を X とする. 1 組から 1 枚のカードを取るとき,どの数も 1B の確率で取り出されるとして,次の問いに答えよ.

(1)  X=7 となる確率を求めよ.

(2)  X の期待値を求めよ.

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都市教養,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

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【1】  (z- 3)3 0 または正の実数になるような複素数 z の全体の集合を T とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  T を図示せよ.

(2)  z T 上を動くとき, |z | の最小値とそのときの z を求めよ.

(3)  z T 上を動くとき, |z+ 1|+ |z- 1| の最小値とそのときの z を求めよ.

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都市教養,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

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【2】(1) 不定積分 e-x sin (πx )dx e- xcos (π x)d x をそれぞれ求めよ.

(2)  n を整数として定積分 nn +1 e- x |sin (π x) | dx の値を求めよ.

(3)  an= 0n e-x | sin(π x) | dx とする. limn an を求めよ.

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都市教養,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

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【3】 平面上に立てた旗を二つのサイコロ A B を同時にふって次の規則にしたがって動かすゲームをする.サイコロをふる前の旗の座標を (x, y) としてサイコロをふって出た A B の目をそれぞれ a b とするとき,旗の位置を座標 (x+ a-1,y +b-1 ) に動かす.

 最初の出発時には旗は P (0 )= (0,0 ) にある.一回目のサイコロをふった後の旗の位置を P (1 ) とする.以下同様にサイコロを n 回順次ふって,旗の位置が P (0) から P (1) P (1) から P (2) P (n-1 ) から P (n) へと順次動くとする.

(1)  P(2 )=(3 ,4) となる確率を求めよ.

(2)  P(5 )=(24 ,1) となる確率を求めよ.

(3)  P(n )=(5 n-1 ,5n -3) となる確率を求めよ.

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都市教養(数理科学)学部

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【1】  n m 2 nm を満たす自然数とする.平面上の四角形 ABCD 2 AD BC は平行ではないものを考える.辺 AD n 等分する点を E 0=A E1 E n-1 En =D とし,辺 BC m 等分する点を F 0=B F 1 Fm -1 F m=G とする.辺 AB CD の中点をそれぞれ G H とし,線分 E kFk の中点を Gk k= 1 n とする.

(1) ベクトル GH をベクトル AD BC を用いて表せ.

(2) ベクトル G Gk k =1 n をベクトル AD BC を用いて表せ.

(3) 点 G G1 Gn H が同一直線上にあるとき, m n の満たす条件を求めよ.

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都市教養(数理科学)学部

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【2】 行列

B=( 2s 1t ) E= ( 10 01 ) O= ( 00 00 ) s t は実数)

を考える. B2= O を満たすとき,次の問いに答えよ.

(1)  s t を決定せよ.

(2) 実数 x y に対して, (x E+y B)2 (xE +yB )3 を求めよ.

(3) 自然数 n に対して ( xE+ yB) n を求めよ.

2005 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

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【3】 点 P は直線上を次の条件(ⅰ)〜(ⅳ)を満たして運動しているものとする.

(ⅰ) 点 P の時刻 t 0 における速度は 6 次の多項式 f (t ) で与えられる.

(ⅱ) どんな t 0 に対しても f (t) 0 である.

(ⅲ)  t=0 3 6 P の速度は 0 となる.さらに t= 0 では f (0 ) =0 である.

(ⅳ)  0t 6 における最高速度は 108 である.

 このとき,次の問いに答えよ.

(1)  f(t ) を求めよ.

(2)  0t 3 P が進んだ距離と 3 t6 P が進んだ距離が等しくなることを示せ.

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