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2005-11261-0101
2005 首都大学東京 前期
人文・社会系,経営学系
易□ 並□ 難□
【1】 平面上の 3 点 A ( a1, a2) ,B( b1, b2) ,C( c1, c2) を頂点とする三角形を考える.
(1) ▵ABC の重心 G の座標を求めよ.
(2) 線分 AG ,BG ,CG を 5: 3 に外分する点をそれぞれ D ,E , F とする. D ,E , F の座標を求めよ.
(3) ▵DEF は ▵ABC と相似であることを示せ.
2005-11261-0102
【2】 1 より大きい正の実数 a ,b と自然数 m が次の等式を満たすものとする.
log2 2⁢m- 1⁡ a=log 2⁡b
(1) a を b の式で表せ.
(2) 方程式 ax ⁢(a x+b m)= bm- 1⁢ ax+ a を満たす実数 x を m で表せ.
補足説明: 2 行目の左辺の対数の底は, 2 の (2⁢ m-1) 乗です.
2005-11261-0103
【3】 θ の関数 f⁡ (θ)= 3⁢sin⁡ θ+3⁢ cos⁡θ+ 3⁢sin⁡ θ⁢cos⁡ θ+2⁢ sin3⁡ θ+2⁢ cos3⁡ θ について次の問いに答えよ.
(1) x=sin⁡ θ+cos⁡ θ とおくとき, f⁡(θ ) を x の式で表せ.
(2) 0°≦θ <360° における f⁡ (θ) の最小値と最大値を求めよ.またそのときの θ の値を求めよ.
2005-11261-0104
【4】 1 から B までの数を一つずつ書いた B 枚のカードが 2 組ある.それぞれの組から 1 枚ずつカードを取り,二つの数が異なるときは,大きい数の 2 倍から小さい数を引いた数を X とし,二つの数が等しいときはその数を X とする. 1 組から 1 枚のカードを取るとき,どの数も 1B の確率で取り出されるとして,次の問いに答えよ.
(1) X=7 となる確率を求めよ.
(2) X の期待値を求めよ.
2005-11261-0105
都市教養,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部
【1】 (z- 3)3 が 0 または正の実数になるような複素数 z の全体の集合を T とするとき,次の問いに答えよ.
(1) T を図示せよ.
(2) z が T 上を動くとき, |z | の最小値とそのときの z を求めよ.
(3) z が T 上を動くとき, |z+ 1|+ |z- 1| の最小値とそのときの z を求めよ.
2005-11261-0106
【2】(1) 不定積分 ∫⁡ e-x ⁢sin⁡ (π⁢x )⁢dx , ∫ ⁡e- x⁢cos ⁡(π⁢ x)⁢d x をそれぞれ求めよ.
(2) n を整数として定積分 ∫nn +1 ⁡e- x⁢ |sin ⁡(π⁢ x) | ⁢dx の値を求めよ.
(3) an= ∫ 0n⁡ e-x ⁢| sin⁡(π ⁢x) | ⁢dx とする. limn→ ∞⁡ an を求めよ.
2005-11261-0107
【3】 平面上に立てた旗を二つのサイコロ A ,B を同時にふって次の規則にしたがって動かすゲームをする.サイコロをふる前の旗の座標を (x, y) としてサイコロをふって出た A ,B の目をそれぞれ a ,b とするとき,旗の位置を座標 (x+ a-1,y +b-1 ) に動かす.
最初の出発時には旗は P ⁡ (0 )= (0,0 ) にある.一回目のサイコロをふった後の旗の位置を P⁡ (1 ) とする.以下同様にサイコロを n 回順次ふって,旗の位置が P⁡ (0) から P⁡ (1) ,P⁡ (1) から P⁡ (2) ,⋯ ,P⁡ (n-1 ) から P⁡ (n) へと順次動くとする.
(1) P⁡(2 )=(3 ,4) となる確率を求めよ.
(2) P⁡(5 )=(24 ,1) となる確率を求めよ.
(3) P⁡(n )=(5 ⁢n-1 ,5⁢n -3) となる確率を求めよ.
2005-11261-0108
都市教養(数理科学)学部
【1】 n ,m は 2≦ n≦m を満たす自然数とする.平面上の四角形 ABCD で 2 辺 AD ,BC は平行ではないものを考える.辺 AD を n 等分する点を E 0=A , E1 , ⋯ ,E n-1 , En =D とし,辺 BC を m 等分する点を F 0=B ,F 1, ⋯, Fm -1 ,F m=G とする.辺 AB , CD の中点をそれぞれ G , H とし,線分 E kFk の中点を Gk ( k= 1, ⋯ ,n ) とする.
(1) ベクトル GH → をベクトル AD → ,BC→ を用いて表せ.
(2) ベクトル G Gk → (k =1 ,⋯ ,n ) をベクトル AD → ,BC→ を用いて表せ.
(3) 点 G ,G1 , ⋯, Gn ,H が同一直線上にあるとき, m ,n の満たす条件を求めよ.
2005-11261-0109
【2】 行列
B=( 2s 1t ) ,E= ( 10 01 ) ,O= ( 00 00 ) ( s, t は実数)
を考える. B2= O を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) s ,t を決定せよ.
(2) 実数 x ,y に対して, (x⁢ E+y⁢ B)2 , (x⁢E +y⁢B )3 を求めよ.
(3) 自然数 n に対して ( x⁢E+ y⁢B) n を求めよ.
2005-11261-0110
【3】 点 P は直線上を次の条件(ⅰ)〜(ⅳ)を満たして運動しているものとする.
(ⅰ) 点 P の時刻 t≧ 0 における速度は 6 次の多項式 f⁡ (t ) で与えられる.
(ⅱ) どんな t≧ 0 に対しても f⁡ (t) ≧ 0 である.
(ⅲ) t=0 ,3 ,6 で P の速度は 0 となる.さらに t= 0 では f ′⁡ (0 ) =0 である.
(ⅳ) 0≦t≦ 6 における最高速度は 108 である.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) f⁡(t ) を求めよ.
(2) 0≦t≦ 3 に P が進んだ距離と 3≦ t≦6 に P が進んだ距離が等しくなることを示せ.