2005　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　次の$$に適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$2$項定理${(1+x)}^m={\displaystyle \sum _{k=0}^m}{}_{m}C_k{x}^k$（$m$は自然数）を用いて計算すると，

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{}_{n}C_k}{k+1}}=\boxed{\text{(ア)}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k{}_{n}C_k}{k+1}}=\boxed{\text{(イ)}}\text{，}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{}_{\mathrm{２}n}C_{2k}}{2k+1}}=\boxed{\text{(ウ)}}$

となる．

【１】　次の$$に適する数を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　複素数$z$を$z^6+z^3+1=0$の解とする．このとき，

${|z+{\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}|}^2+{|z-{\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}|}^2=\boxed{\text{(エ)}}$

となる．

【２】　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　$2$次の正方行列$\lambda E-A$の逆行列が存在しないような実数$\lambda$を二つ求めよ．

(2)　(1)で求めた実数$\lambda$のうち大きな方を$\alpha \text{，}$小さな方を$\beta$とし，$D=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$とする．

$AU=UD$

をみたし，逆行列をもつ$2$次の正方行列$U$を一つ求めよ．

(3)　実数$x\text{，}y$に対して，$x_n\text{，}{y}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

と定める．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{{\alpha }^n}}$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{y_n}{{\alpha }^n}}$がともに正の数となるための必要十分条件を$x$と$y$を用いて表せ．

【３】　実数$x$に対して，$[x]$は$x-1<[x]\leqq x$をみたす整数を表す．つまり，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．たとえば，$[\sqrt{6}]=2\text{，}[-\sqrt{6}]=-3$である．以下$n$は$2$以上の自然数とし，自然数$a$に対して，${(a)}_n$は$a$を$n$で割ったときの余りとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$a$に対して，$a=\left[{\displaystyle \frac{a}{n}}\right]n+{(a)}_n$を示せ．

(2)　自然数$a\text{，}b\text{，}c$に対して

$\left[{\displaystyle \frac{a{(bc)}_n}{n}}\right]+a\left[{\displaystyle \frac{bc}{n}}\right]=\left[{\displaystyle \frac{b{(ca)}_n}{n}}\right]+b\left[{\displaystyle \frac{ca}{n}}\right]=\left[{\displaystyle \frac{c{(ab)}_n}{n}}\right]+c\left[{\displaystyle \frac{ab}{n}}\right]$

を示せ．

【４】　媒介変数表示

$x(t)={\displaystyle \frac{3t}{1+t^3}}\text{，}y(t)={\displaystyle \frac{3t^2}{1+t^3}}\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

で表される曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた領域の面積を求めよ．