2005　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=\min \{2x^3+9x^2+12x+4,2x^2-4x+4\}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\min \{a,b\}$は$a\text{，}b$のうち大きくない方の値を表す．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　方程式$|f(x)|=k$の解の個数を求めよ．ただし，$k$は実数とする．

【２】　$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ合計$n$枚ある．この中からカードを何枚か抜きとるとき，次の問いに答えよ．

(1)　同時に$2$枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの数字が連続している確率$P_1$を求めよ．

(2)　同時に$3$枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの$3$つの数字が連続している確率$P_2$を求めよ．

(3)　同時に$3$枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの$3$つの数字のうち$2$つだけが連続している確率$P_3$を求めよ．

(4)　同時に$3$枚のカードを抜きとるとき，それらのカードの$3$つの数字のうちどの$2$つも連続していない確率$P_4$を求めよ．

【３】　放物線$C:y=x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)　点$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$での$C$の接線$l$を求めよ．

(2)　点$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$で$l$と接する円のうち，中心が$y$軸上にあるものを求めよ．

(3)　(2)で求めた円と$C$とで囲まれた弓形の図形の面積を求めよ．

【４】　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2$を満たし，ベクトル$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が表す点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}t$が$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}0\leqq s+t\leqq 1$を満たすとき，点$\mathrm{P}$が描く図形の面積を求めよ．

(2)　$s\text{，}t$が$0\leqq s\leqq 3\text{，}1\leqq t\leqq 2$を満たすとき，点$\mathrm{P}$が描く図形の面積を求めよ．

(3)　$s\text{，}t$が$s=\sin \theta \text{，}t=\cos \theta$で表され，$\theta$が$0°\leqq \theta <360°$を動くとき，${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2$の最大値を求めよ．