2005　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次の正方行列$A\text{，}B$が

$A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\text{，}A-B=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& -1\end{array}\right)$

を満たすとき，$A^2-B^2$の逆行列を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　複素数$z$が$z^2-z+1=0$を満たすとき，$z^{15}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$y={(\tan x)}^{\sin x}$の導関数を求めよ．ただし，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ合計$n$枚ある．ただし，$n$は$3$以上の整数である．この$n$枚のカードからでたらめに抜きとった$3$枚のカードの数字のうち最大の値を$X$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，$X=k$である確率$p_k$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k-1)(k-2)$を求めよ．

(3)　$X$の期待値を求めよ．

【３】　直線$l:y=-x+2$と直線$m:y=x+1$上にそれぞれ点列${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$および${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}\cdots$がある．ただし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，点${\mathrm{Q}}_n$は点${\mathrm{P}}_n$を通る傾きが$(-2)$の直線と$m$との交点，点${\mathrm{P}}_{n+1}$は${\mathrm{Q}}_n$を通る傾きが$2$の直線と$l$との交点である．${\mathrm{P}}_1$の座標を$(2,0)$として，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{Q}}_2$および${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_n$および${\mathrm{Q}}_n$の$x$座標をそれぞれ求めよ．

【３】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を底面とし高さが$1$の円柱が，右図のように$xyz$空間内に置かれている．いま$x$軸上に点$\mathrm{M}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0,0)$をとり，$\mathrm{M}$を通って$x$軸と垂直な平面と底面の円との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．この$2$点と点$\mathrm{C}(1,0,1)$を通る平面でこの立体を切断するとき，平面より下方にある立体の体積を$V$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^1}\sqrt{1-x^2}dx$を求めよ．

(2)　$V$を求めよ．