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2005-11556-0101
2005 大阪市立大学 前期
商・経済・医(看護)・
生活科学部
50点
易□ 並□ 難□
【1】 2 つの関数 y= 1-x2 , y= 12⁢ ( x-b) 2 のグラフが,点 A( a,1- a2 ) において同一の直線に接するように,正の定数 a ,b を定める.関数 y= f⁡(x ) を
f⁡(x )={ 1- x2 (x ≦a) 12⁢ (x -b)2 ( x>a )
によって定義するとき,次の問いに答えよ.
問1 正の定数 a ,b の値を求めよ.
問2 関数 y= f⁡(x ) のグラフと x 軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
2005-11556-0102
【2】 数列 {an } を条件
a1= -1 ,an +1= 1 an -1 (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.この数列の初項から第 n 項までの積 a1 ⁢a2 ⁢a3 ⁢⋯⁢ an を xn とするとき,次の問いに答えよ.
問1 xn- xn+ 1= xn+2 が成り立つことを示し, x6 ,a6 を求めよ.
問2 x1+ x2+ x3+ ⋯+x n+x n+1 =-x n が成り立つことを示せ.
問3 x2+ x4+ x6+ ⋯+x 2⁢m =-1 -x2 ⁢m+1 が成り立つことを示せ.
2005-11556-0103
【3】 a>0 とし, xy 座標平面において, x 軸に平行な直線 l: y=a , および,放物線 U: y=x2 を考える.次の問いに答えよ.
問1 点 (0, s) を中心とする半径 r の円と放物線 U が,ただ一つの共有点を持つための s ,r についての条件を求めよ.
問2 直線 l と放物線 U によって囲まれる領域(境界も含む)を D とする. D に含まれ, y 軸上に中心を持つ円のうちで,その半径 r が最大のものを求めよ.
2005-11556-0104
【4】 n を 2 以上とし, n 組の夫婦が, 2⁢n 人掛けの円卓に着席するものとする.着席位置を無作為に決めるとき,次の問いに答えよ.
問1 男女が交互に着席する確率を求めよ.
問2 どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ.
問3 男女が交互になり,かつ,どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ.
2005-11556-0105
理・工・医(医)学部
【1】 実数を成分とする 2 次の正方行列のうち,その (1, 1) 成分, (2,2 ) 成分が正で, (2,1 ) 成分が 0 である行列の全体集合を M とする. E は 2 次の単位行列を表すものとして,次の問いに答えよ.
問1 A が集合 M に属するならば, B⁢(A +2⁢E )=3⁢ A をみたす B で M に属するものがただ一つ存在することを示せ.
問2 2 次の正方行列 An ( n= 1, 2, 3, ⋯) を
A1= ( 32 01 ) ,An +1⁢ (An +2⁢E )=3⁢ An
によって定めるとき, An を n を用いて表せ.
2005-11556-0106
【2】 xy 座標平面において,原点 O( 0,0) を中心とする半径 1 の円 S と, 2 点 A (0, 2), B(0 ,-2) を考える. S 上の点 P (cos⁡ θ,sin⁡ θ) に対し,直線 AP と x 軸との交点を X A, 直線 BP と x 軸との交点を XB とする.次の問いに答えよ.
問1 2 点 XA , XB の x 座標をそれぞれ θ を用いて表せ.
問2 0<θ< π 2 の範囲で点 P( cos⁡θ, sin⁡θ ) が S 上を動くとき,線分 X AXB の長さの最大値を求めよ.
2005-11556-0107
【3】 M を 2 以上の自然数とする. N を自然数全体の集合とし, n∈N について,集合
An= {m |m ∈N,m ≦ Mn }
の要素の個数を an とする. S⁡(M )=a1 +a2 +⋯+ aM とおくとき,次の問いに答えよ.
問1 不等式 ∑ n=2 M⁡ Mn< S⁡(M )≦ ∑ n=1 M⁡ Mn が成り立つことを示せ.
問2 関数 f⁡ (x)= 1 x の定積分を用いて, limM→ ∞⁡ S ⁡(M) M⁢log⁡ M= 1 であることを示せ.
2005-11556-0108
【4】 座標空間に 3 点 A( 0,0, 1), B(1 ,0,0 ), P(1 ,tanθ, 0) をとる.座標空間の原点を O( 0,0, 0) で表す.線分 OP 上に点 Q を OP⋅ OQ=1 となるようにとり, s=BQ とおくとき,次の問いに答えよ.
問1 s を θ を用いて表し,線分の長さ AQ を s のみを用いて表せ.
問2 0<θ< π 2 のとき, d skθ = AQ AP であることを示せ.
問3 f⁡(θ )= 1AP とおくとき,定積分 ∫ 0π4 ⁡ f⁡(θ )⁢dθ を求めよ.
2005-11556-0109
【5】 座標平面上の原点 O を中心とする半径 1 の円 S 上に,異なる 3 点 A (a 1,a 2) ,B ( b1, b2) ,C (c 1,c2 ) がある.実数 α ,β , γ を
( c1 c2 ) =( a 1- a2 a2 a1 ) ⁢( αβ ) ,γ= OA→ ⋅OB →
で定める.点 D( d1, d2) を
( d1 d2 )= ( -αβ -β -α )⁢ ( b1 b2 )
で定め,線分 AD ,BC の中心をそれぞれ M ,N とする.次の問いに答えよ.
問1 α2+ β2= 1 を示し,これを用いて,点 D が円 S 上にあることを示せ.
問2 OA→ ⋅OC→ , OB→ ⋅OD→ , OC→ ⋅OD→ を α ,β ,γ を用いて示せ.
問3 2 直線 AD ,BC は直交することを示せ.また, 2 直線 AD ,BC の交点を H とすると
OH→ =OM→ +ON →= 12 ⁢( OA→ +OB→ +OC→ +OD→ )
が成り立つことを示せ.