2005　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　$2$つの関数$y=1-x^2\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-b)}^2$のグラフが，点$\mathrm{A}(a,1-a^2)$において同一の直線に接するように，正の定数$a\text{，}b$を定める．関数$y=f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1-x^2& \text{（}x\leqq a\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-b)}^2& \text{（}x>a\text{）}\end{array}$

によって定義するとき，次の問いに答えよ．

問１　正の定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

問２　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を条件

$a_1=-1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{a_n}}-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．この数列の初項から第$n$項までの積$a_1{a}_2{a}_3\cdots a_n$を$x_n$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$x_n-x_{n+1}=x_{n+2}$が成り立つことを示し，$x_6\text{，}{a}_6$を求めよ．

問２　$x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n+x_{n+1}=-x_n$が成り立つことを示せ．

問３　$x_2+x_4+x_6+\cdots +x_{2m}=-1-x_{2m+1}$が成り立つことを示せ．

【３】　$a>0$とし，$xy$座標平面において，$x$軸に平行な直線$l:y=a\text{，}$および，放物線$U:y=x^2$を考える．次の問いに答えよ．

問１　点$(0,s)$を中心とする半径$r$の円と放物線$U$が，ただ一つの共有点を持つための$s\text{，}r$についての条件を求めよ．

問２　直線$l$と放物線$U$によって囲まれる領域（境界も含む）を$D$とする．$D$に含まれ，$y$軸上に中心を持つ円のうちで，その半径$r$が最大のものを求めよ．

【４】　$n$を$2$以上とし，$n$組の夫婦が，$2n$人掛けの円卓に着席するものとする．着席位置を無作為に決めるとき，次の問いに答えよ．

問１　男女が交互に着席する確率を求めよ．

問２　どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ．

問３　男女が交互になり，かつ，どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ．

【１】　実数を成分とする$2$次の正方行列のうち，その$(1,1)$成分，$(2,2)$成分が正で，$(2,1)$成分が$0$である行列の全体集合を$\mathrm{M}$とする．$E$は$2$次の単位行列を表すものとして，次の問いに答えよ．

問１　$A$が集合$\mathrm{M}$に属するならば，$B(A+2E)=3A$をみたす$B$で$\mathrm{M}$に属するものがただ一つ存在することを示せ．

問２　$2$次の正方行列$A_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$A_1=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}{A}_{n+1}(A_n+2E)=3A_n$

によって定めるとき，$A_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　$xy$座標平面において，原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円$S$と，$2$点$\mathrm{A}(0,2)\text{，}\mathrm{B}(0,-2)$を考える．$S$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$に対し，直線$\mathrm{AP}$と$x$軸との交点を${\mathrm{X}}_{\mathrm{A}}\text{，}$直線$\mathrm{BP}$と$x$軸との交点を${\mathrm{X}}_{\mathrm{B}}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$2$点${\mathrm{X}}_{\mathrm{A}}\text{，}{\mathrm{X}}_{\mathrm{B}}$の$x$座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．

問２　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$が$S$上を動くとき，線分${\mathrm{X}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{X}}_{\mathrm{B}}$の長さの最大値を求めよ．

【３】　$M$を$2$以上の自然数とする．$\mathrm{N}$を自然数全体の集合とし，$n\in \mathrm{N}$について，集合

${\mathrm{A}}_n=\left\{m\right|m\in \mathrm{N},m\leqq {\displaystyle \frac{M}{n}}\}$

の要素の個数を$a_n$とする．$S(M)=a_1+a_2+\cdots +a_M$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　不等式${\displaystyle \sum _{n=2}^M}{\displaystyle \frac{M}{n}}<S(M)\leqq {\displaystyle \sum _{n=1}^M}{\displaystyle \frac{M}{n}}$が成り立つことを示せ．

問２　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$の定積分を用いて，$\underset{M\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(M)}{M\log M}}=1$であることを示せ．

【４】　座標空間に$3$点$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,0)\text{，}\mathrm{P}(1,\tan \theta ,0)$をとる．座標空間の原点を$\mathrm{O}(0,0,0)$で表す．線分$\mathrm{OP}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=1$となるようにとり，$s=\mathrm{BQ}$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$s$を$\theta$を用いて表し，線分の長さ$\mathrm{AQ}$を$s$のみを用いて表せ．

問２　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{ds}{k\theta }}={\displaystyle \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AP}}}$であることを示せ．

問３　$f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{AP}}}$とおくとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}f(\theta )d\theta$を求めよ．

【５】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$S$上に，異なる$3$点$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}\mathrm{B}(b_1,b_2)\text{，}\mathrm{C}(c_1,c_2)$がある．実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を

$\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& -a_2\\ a_2& a_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)\text{，}\gamma =\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

で定める．点$\mathrm{D}(d_1,d_2)$を

$\left(\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\alpha & \beta \\ -\beta & -\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$

で定め，線分$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$の中心をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

問１　${\alpha }^2+{\beta }^2=1$を示し，これを用いて，点$\mathrm{D}$が円$S$上にあることを示せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を用いて示せ．

問３　$2$直線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$は直交することを示せ．また，$2$直線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}})$

が成り立つことを示せ．