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2005-11556-0201
2005 大阪市立大学 後期
理(数学),工学部
理(数)学部は100点,工学部は40点
易□ 並□ 難□
【1】 複素数 α ,β ,γ を
α=cos⁡ π3+ i⁢sin⁡ π3 , β= cos⁡ π5 +i⁢ sin⁡ π5 , γ=cos⁡ π15+ i⁢sin⁡ π15
とおくとき,
αm⁢ βn= γ
となるような自然数の組 (m, n) のうち
1≦m≦ 10, 1≦n≦ 20
をともにみたすものをすべて求めよ.
2005-11556-0202
理(数学)学部
100点
【2】問1 関数 f⁡ (t) は, f⁡(0 )=0 をみたし,つねに f″ ⁡(t) ≧0 であるとする.
u⁡(x )= ∫ -xx ⁡f⁡ (t)⁢ dt
とおく. x≧0 のとき, u′⁡ (x)≧ 0, u⁡(x )≧0 であることを示せ.
問2 関数 g⁡ (s) は,つねに g″ ⁡(s )≧0 をみたすとする. a<b のとき,不等式
∫ ab⁡ g⁡(s )⁢ds ≧(b- a)⁢g ⁡( a +b2 )
を示せ.
2005-11556-0203
【3】 s は実数で, s>2 とする.数列 {an } の各項は 0 でなく,次の条件(1),(2)をみたすとする.
(1) a1= 1, a2= s
(2) an+ 12 -an ⁢an +2= 1( n=1 ,2 ,3 , ⋯)
問1 an+ an+ 2= an+ 1( an- 1+a n+1 )a n (n =2, 3, ⋯) を示せ.
問2 an+ an+ 2=s ⁢an +1 (n =1, 2, 3, ⋯) を示せ.
問3 a n+1 an >s 2 (n =1, 2, 3, ⋯) を示せ.
2005-11556-0204
理(数学)学部は100点,工学部は40点
【4】 a ,b を実数とする.
X=( x yz w )
は,すべての成分が実数であるような 2 次正方行列で
X2= ( ab -b a)
をみたすとする.
問1 b≠0 のとき, x を a ,b で表せ.
問2 a<0 ,b=0 とする. X がさらに
X⁢( 0 1- 10 )= (0 1 -10 )⁢ X
をみたすとき, X を a で表せ.
2005-11556-0205
理(数学,物理),工学部
理(数学,物理)学部は100点,工学部は40点
【5】 f⁡(x )=log⁡ (ex +1) とする. x がすべての実数を動くとき,以下の問いに答えよ.
問1 f′⁡ (x) はつねに増加することを示せ.また, limx→ ∞⁡ f′⁡ (x) と lim x→-∞ ⁡f ′⁡( x) を求めよ.
問2 0<a< 1 とする. g⁡(x )=f⁡ (x)- a⁢x の最小値を a で表せ.
問3 座標平面において点 P が y= f⁡(x ) のグラフ上を動くとき,点 P と直線 y= 12 ⁢ x の距離の最小値を求めよ.
2005-11556-0206
工学部
40点
【2】 f⁡(x )=sin⁡ 2⁢x⁢ cos⁡ ( π3- x)- 3 2⁢ cos⁡ x とおく.
問1 f⁡(x )=cos⁡ x⁢sin⁡ (2⁢x -α) がすべての実数 x に対して成り立つような α (0 ≦α<2 ⁢π ) の値を求めよ.
問2 f⁡(β )=0 をみたす β (0 <β< π 2) の値を求め, ∫ 0β ⁡f⁡( x)⁢d x を計算せよ.
2005-11556-0207
【3】 四面体 OABC において, OA=OB= OC=1 とし, G を ▵ ABC の重心とする.
問1 直線 OG が 3 点 A ,B ,C で定まる平面に垂直であるための必要十分条件は, ∠AOB= ∠BOC= ∠COA であることを示せ.
問2 ∠AOB=∠ BOC=∠COA =θ とする.四面体 OABC の体積を cos⁡ θ を用いて表せ.さらに,その体積が 16⁢ 2 となるとき, cos⁡θ の値を求めよ.