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2005 大阪市立大学 後期

理(数学),工学部

理(数)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【1】 複素数 α β γ

α=cos π3+ isin π3 β= cos π5 +i sin π5 γ=cos π15+ isin π15

とおくとき,

αm βn= γ

となるような自然数の組 (m, n) のうち

1m 10 1n 20

をともにみたすものをすべて求めよ.

2005 大阪市立大学 後期

理(数学)学部

100点

易□ 並□ 難□

【2】問1 関数 f (t) は, f(0 )=0 をみたし,つねに f (t) 0 であるとする.

u(x )= -xx f (t) dt

とおく. x0 のとき, u (x) 0 u(x )0 であることを示せ.

問2 関数 g (s) は,つねに g (s )0 をみたすとする. a<b のとき,不等式

ab g(s )ds (b- a)g ( a +b2 )

を示せ.

2005 大阪市立大学 後期

理(数学)学部

100点

易□ 並□ 難□

【3】  s は実数で, s>2 とする.数列 {an } の各項は 0 でなく,次の条件(1),(2)をみたすとする.

(1)  a1= 1 a2= s

(2)  an+ 12 -an an +2= 1 n=1 2 3

問1  an+ an+ 2= an+ 1( an- 1+a n+1 )a n n =2 3 を示せ.

問2  an+ an+ 2=s an +1 n =1 2 3 を示せ.

問3  a n+1 an >s 2 n =1 2 3 を示せ.

2005 大阪市立大学 後期

理(数学),工学部

理(数学)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【4】  a b を実数とする.

X=( x yz w )

は,すべての成分が実数であるような 2 次正方行列で

X2= ( ab -b a)

をみたすとする.

問1  b0 のとき, x a b で表せ.

問2  a<0 b=0 とする. X がさらに

X( 0 1- 10 )= (0 1 -10 ) X

をみたすとき, X a で表せ.

2005 大阪市立大学 後期

理(数学,物理),工学部

理(数学,物理)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【5】  f(x )=log (ex +1) とする. x がすべての実数を動くとき,以下の問いに答えよ.

問1  f (x) はつねに増加することを示せ.また, limx f (x) lim x- f ( x) を求めよ.

問2  0<a< 1 とする. g(x )=f (x)- ax の最小値を a で表せ.

問3 座標平面において点 P y= f(x ) のグラフ上を動くとき,点 P と直線 y= 12 x の距離の最小値を求めよ.

2005 大阪市立大学 後期

工学部

40点

易□ 並□ 難□

【2】  f(x )=sin 2x cos ( π3- x)- 3 2 cos x とおく.

問1  f(x )=cos xsin (2x -α) がすべての実数 x に対して成り立つような α 0 α<2 π の値を求めよ.

問2  f(β )=0 をみたす β (0 <β< π 2) の値を求め, 0β f( x)d x を計算せよ.

2005 大阪市立大学 後期

工学部

40点

易□ 並□ 難□

【3】 四面体 OABC において, OA=OB= OC=1 とし, G ABC の重心とする.

問1 直線 OG 3 A B C で定まる平面に垂直であるための必要十分条件は, AOB= BOC= COA であることを示せ.

問2  AOB= BOC=COA =θ とする.四面体 OABC の体積を cos θ を用いて表せ.さらに,その体積が 16 2 となるとき, cosθ の値を求めよ.

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