2005　大阪府立大学　中期MathJax

【１】

(1)　無限級数の和

$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}\text{，}T={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$

を求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】

(2)　自然数$n$に対して，定積分$I_n$を

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\sin }^{n}xdx$

で定める．$n\geqq 3$のとき，$I_n$を$I_{n-2}$と$n$を用いて表せ．また，$I_2\text{，}{I}_4$の値を求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】

(3)　相異なる$3$個の複素数$0\text{，}\alpha \text{，}\beta$が複素数平面上で表す点をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{OA}$の長さは線分$\mathrm{OB}$の長さの$3$倍であり，$\angle \mathrm{AOB}=120°$であるとき，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$を求めよ．また，

${\alpha }^2+a\alpha \beta +b{\beta }^2=0$

となる実数$a\text{，}b$を求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【２】　$3$次正方行列$A\text{，}B\text{，}C$を

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 3\\ 3& 4& 3\\ 3& 3& 4\end{array}\right)$

で定める．このとき，自然数$n$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$B^n$を求めよ．

(2)　実数$a\text{，}b$に対して，

${(aA+bB)}^n=x_{n}A+y_{n}B$

となる実数$x_n\text{，}{y}_n$を$a\text{，}b$と$n$を用いて表せ．

(3)　$C^n=u_{n}A+v_{n}B$となる実数$u_n\text{，}{v}_n$を求めよ．

（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\sqrt{t}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\sqrt{t}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}\overrightarrow{c}$

となるように定める．ただし，$t>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{PQR}$の面積$S(t)$を求めよ．

(2)　$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【４】　自然数$n\text{，}k$は$2$以上とする．箱の中に$1$つの番号が書かれたカードが$n$枚あり，$1$から$n$までのどの番号もいずれかのカードに書かれている．この箱から同時に$k$枚のカードを無作為に選ぶという試行を行う．ただし，選ばれたカードは箱の中に戻すことにする．この試行を$m$回繰り返すとき，$1$番のカードが少なくとも$1$回選ばれる事象を$\mathrm{A}$とし，$2$番のカードが少なくとも$1$回選ばれる事象を$\mathrm{B}$とする．また，$p_m=P(\mathrm{A})\text{，}{q}_m=P(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$m=1$のとき，確率$p_1\text{，}{a}_1$を求めよ．

(2)　$m=2$のとき，確率$p_2$を求めよ．

(3)　一般の$m$について，$P(\bar{\mathrm{A}})$を求め，確率$p_m$を求めよ．ただし，$\bar{\mathrm{A}}$は事象$\mathrm{A}$の余事象を表す．

(4)　一般の$m$について，$P(\bar{\mathrm{A}}\cap \bar{\mathrm{B}})$を求め，確率$q_m$を求めよ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【５】　$a$は実数で，$a>-2$とする．関数

$f(x)=\sqrt{4-{(x^2-a)}^2}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の定義域を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸および変曲点は調べなくてよい．

(3)　$|a|<2$のとき，$y=f(x)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$V(a)$の最大値$M$を求めよ．

（(4)については計算の過程を記入しなくてよい．）