2005　東北学院大学　前期工(電気情報工,環境土木工学科)学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　${({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{10}$の展開式における$x^2$の係数は$\boxed{}$である．

【２】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　数列$\{a_n\}$は各項が正の数からなり，$a_3=12\text{，}{a}_5=48$となる等比数列である．その一般項を求めると$a_n=\boxed{}$であり，和

$(a_1+a_2-a_3)+(a_4+a_5-a_6)+\cdots +(a_{3m-2}+a_{3m-1}-a_{3m})$

を求めると$\boxed{}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　$\mathrm{O}$を原点，$\mathrm{A}$を定点$(3,0)$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$が条件$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$をみたすように動くとき，点$\mathrm{P}$の描く軌跡の方程式は$\boxed{}$である．

【２】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答を，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

　次の問いに答えよ．

(1)　$z^3=i$となるような$3$個の複素数$z$を求めると$\boxed{}$である．（ただし，$i$は虚数単位である．）

(2)　$z$が複素数平面上にある$3$本の直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$を動くとき，$w=z^3$によって与えられる複素数$w$は複素数平面上の虚数軸を動くという．

このとき，$i$を通り実軸に平行な直線$m$と$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$との$3$つの交点を表す$3$つの複素数を求めると$\boxed{}$である．

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{AC}=8\text{，}\angle \mathrm{BAC}=120\mathrm{°}$であるとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$に内接する円の半径を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君，$\mathrm{C}$君の$3$人がサイコロを振り，出た目が最大の一人を優勝者とする．もしも$1$回目の試行で最大の目の出た人が$2$人以上いれば，その人たちだけで$2$回目の試行（サイコロ振り）を行う．以下同様に，優勝者$1$名が出るまでこの試行を続ける．次の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の試行だけで$\mathrm{A}$君が優勝者となる確率を求めよ．

(2)　ちょうど$2$回目の試行により，$\mathrm{A}$君が優勝者に決まる確率を求めよ．

【１】　次の不等式を解け．

${\log }_{\frac{1}{3}}x+{\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)<1$

【２】　曲線$y=x^3-3x$上に点$\mathrm{A}$をとり，$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とする．点$\mathrm{A}$におけるこの曲線の接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$が点$(-1,3)$を通るような$a$の値を求めよ．

(3)　直線$x=-1$上の点$\mathrm{P}(-1,c)$からこの曲線に異なる$3$本の接線が引けるような$c$の値の範囲を求めよ．

【１】　$a_n=\cos {\displaystyle \frac{2n\pi }{3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，無限級数の和${\displaystyle \frac{a_1}{10}}+{\displaystyle \frac{a_2}{{10}^2}}+{\displaystyle \frac{a_3}{{10}^3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{{10}^n}}+\cdots$を求めよ．

【２】　$f(x)=x{e}^{-x^2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$S(t)={\displaystyle {\int }_0^t}f(x)dx$としたとき，$\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$を求めよ．

注　数学A，数学Bから１科目，数学I，II，IIIから２科目選択