2005　学習院大学　法学部MathJax

【１】　自然数$n$に対して，$n$の各桁の数字の和を$S$とする．たとえば，$n=253$であれば$S=2+5+3=10$である．

　$3$桁の自然数$n$で$S=10$となるものの個数を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$は

$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\mathrm{BC}=4$

を満たしているとする．

(1)　$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．

【３】　平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$が単位円周上を動くとき，$15x^2+10xy-9y^2$の最大値と，最大値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，単位円周とは原点を中心とする半径$1$の円周のことである．

【４】　放物線$C:y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$がある（ただし，$a\text{，}b$は$a<b$を満たす定数である）．また，$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$は$a<t<b$を満たしながら動くとし，線分$\mathrm{AP}$と$C$とで囲まれた部分の面積と線分$\mathrm{PB}$と$C$とで囲まれた部分の面積の和を$S$とする．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　$S$の最小値と，最小値を与える$t$を求めよ．