2005　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　空間内の$xy$平面上において$y=\log {\displaystyle \frac{1}{\cos x}}(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で表される曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,y,0)$をとり，原点から$\mathrm{P}$までの曲線の長さを$s$とする．空間内で$\mathrm{P}$の真上に点$\mathrm{Q}(x,y,{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}})$をとる．

(1)　曲線の長さ$s$を$x$の関数として$s\left(x\right)$で表す．${(\log {\displaystyle \frac{1}{\cos x}})}^{\prime }=\boxed{\text{(ア)}}$であり，また$f(x)={\displaystyle \frac{1+\sin x}{\cos x}}$とおくと，${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}=\boxed{\text{(イ)}}$であるから，$s(x)=\boxed{\text{(ウ)}}$となる．したがって，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$x$の関数$g(x)$となり，特に$g\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=\boxed{\text{(エ)}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$から$x$軸へおろした垂線の足を$\mathrm{R}(x,0,0)$とし，$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{PR}$を$2$辺とする長方形を$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲で動かして立体をつくる．このとき，この立体の体積は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　点$\mathrm{P}$が数直線上の整数点（座標が整数である点）を次の規則にしたがって正の方向に移動していく．

• (1)　最初の時点での$\mathrm{P}$の座標は$0$である（$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$の上にある）．
• (2)　ある時点での$\mathrm{P}$の座標が$k$のとき，次の時点で$\mathrm{P}$は座標$k+1$の点か，または座標$k+2$の点のどちらかに，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で移動する．

　正の整数$n$に対して，ある時点で$\mathrm{P}$の座標が$n$となる確率（すなわち，$\mathrm{P}$が座標$n$の点を飛びこえてしまわない確率）を$p(n)$で表す．たとえば，$p(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}p(2)={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}p(3)=\boxed{\text{(カ)}}\text{，}p(4)=\boxed{\text{(キ)}}$である．すると，$p(n)$は漸化式$p(n)=\boxed{\text{(ク)}}$をみたす．したがって，$p(n)$を$n$の式で表すと$\boxed{\text{(ケ)}}$となり，$\underset{n\to \infty }{\lim }p(n)=\boxed{\text{(コ)}}$である．

【３】　平面上に$4$点$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{O}$がある．$\mathrm{K}$は動点で，その座標$(x,y)$が時刻$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$の関数として

$x=t\text{，}y=at$

で与えられている（$a$は正の実数）．$\mathrm{E}(3,0)\text{，}\mathrm{I}(1,0)\text{，}\mathrm{O}(0,0)$は定点である．$2$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{I}$を通り，直線$y=ax$に第$1$象限で接する円の中心の座標は$(\boxed{\text{(サ)}},\boxed{\text{(シ)}})$である．円周角の性質から，$\angle \mathrm{EKI}$が最大となるのは$t=\boxed{\text{(ス)}}$のときである．そのときの線分$\mathrm{OK}$の長さを$l_a\text{，}\angle \mathrm{EKI}$を${\theta }_a$とするとき，$l_a=\boxed{\text{(セ)}}\text{，}\underset{a\to \infty }{\lim }{\theta }_a=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【４】　$2$行$2$列の行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$を考える．$A$において，$b$と$c$を入れかえた行列を$A^T$で表す．すなわち，$A^T=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$である．同様に，$B^T=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{array}\right)$とおく．以下で，$B$はつねに$\alpha \delta -\beta \gamma =1$をみたすものとする．

(1)　$A^T=-A$となるための必要十分条件は$A=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ -b& 0\end{array}\right)$であることを証明しなさい．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ -b& 0\end{array}\right)$のとき，すべての$B$に対して$BA{B}^T=A$となることを証明しなさい．

(3)　すべての$B$に対して$BA{B}^T=A$が成り立つならば，$A=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ -b& 0\end{array}\right)$であることを証明しなさい．

【５】　実数$t$に対して空間の点$\mathrm{P}(0,2t,t^2)$を定め，$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(2,0,-1)$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{Q}(a,b,0)$とする．

(1)　このとき$a\text{，}b$を$t$で表し，$\underset{t\to +\infty }{\lim }a$および$\underset{t\to +\infty }{\lim }b$を求めなさい．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めなさい．また軌跡の概形を$xy$平面上に描きなさい．