2005　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$a$と$b$を実数とします．方程式

(＊)　$x^3+a{x}^2+bx+a=0$

が$x=1+2i$（$i$は虚数単位）を解に持つとすれば，方程式(＊)は実数解

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}}\boxed{\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}}\boxed{\text{(4)}}}}$

を持ち，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(5)}}\boxed{\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}}\boxed{\text{(8)}}}}\text{，}b=\boxed{\text{(9)}}\boxed{\text{(10)}}$

となります．このとき，複素数平面において方程式(＊)の$3$つの解を頂点とする三角形の外接円の中心は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(11)}}\boxed{\text{(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}\boxed{\text{(14)}}}}+\boxed{\text{(15)}}\boxed{\text{(16)}}i$

です．また，この外接円上の点$z$は

$z\bar{z}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}\boxed{\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}}\boxed{\text{(20)}}}z-\frac{\boxed{\text{(21)}}\boxed{\text{(22)}}}{\boxed{\text{(23)}}\boxed{\text{(24)}}}\bar{z}+\frac{\boxed{\text{(25)}}\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}\boxed{\text{(28)}}}}=0$

を満たします．ただし$\bar{z}$は$z$の共役な複素数を表します．

【２】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが次の$3$つの規則[ア]，[イ]，[ウ]に従ってゲームを行います．

• [ア]　$2$人がそれぞれ$1$枚の硬貨を$1$回投げます．
• [イ]　両者で異なる面が出た場合には表を出した人が$1$点を獲得します．
• [ウ]　両者で同じ面が出た場合には共に$0$点とします．

　このゲームを$5$回繰り返し行い，先に$2$点を獲得した人を勝者とします．$5$回以内で勝者が決まらなかった場合には引き分けとします．

(1)　ちょうど$3$回目で$\mathrm{A}$さんが勝者となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}}\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}}\boxed{\text{(32)}}}}$

です．

(2)　$5$回以内で勝者が決まる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}\boxed{\text{(34)}}}{\boxed{\text{(35)}}\boxed{\text{(36)}}}}$

です．

【３】　$a$と$b$を実数とします．$2$次関数$f(x)$を

$f(x)=x^2+ax+b$

とし，$y=f(x)$のグラフが次の条件[ア]，[イ]を満たすものとします．

• [ア]　$y=f(x)$のグラフと$y=2x^2+1$のグラフの共有点の個数は$1$以下である．
• [イ]　$y=f(x)$のグラフの頂点は，不等式$y\geqq x$の表す領域に属する．

(1)　$y=f(x)$のグラフのうち，頂点の$x$座標が最大となるのは

$f(x)=x^2+\boxed{\text{(37)}}\boxed{\text{(38)}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}\boxed{\text{(42)}}}}$

のときです．

(2)　$y=f(x)$のグラフのうち，$f(0)$が最小となるのは

$f(x)=x^2+\boxed{\text{(43)}}\boxed{\text{(44)}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}}\boxed{\text{(48)}}}}$

のときです．

(3)　$y=f(x)$のグラフのうち，頂点の$y$座標が最小となるのは

$f(x)=x^2+\boxed{\text{(49)}}\boxed{\text{(50)}}x+\boxed{\text{(51)}}\boxed{\text{(52)}}$

のときです．

【４】　$a$と$b$を実数とし，$3$次関数$f(x)$を

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$

とします．

(1)　$f(x)$が極大値と極小値の両方を持つための必要十分条件を$a$と$b$を用いて表してください．

(2)　$f(x)$が$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとします．$f(\alpha )-f(\beta )$を$a$と$b$の簡単な式で表してください．

(3)　$S=\{(a,b)|a\geqq -1\text{かつ}b\leqq -1\}$とします．$(a,b)$が$S$内を動くとき，$f(\alpha )-f(\beta )$の最小値を求めてください．

【５】　数列$\{a_n\}$が次の条件

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2{a_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとします．

(1)　$a_n$を$n$を用いて表してください．

(2)　$a_n<{10}^{60}$となるような自然数$n$は全部で何個ありますか．ただし，(2)では${\log }_{10}2=0.3010$として計算してください．

【６】　日吉キャンパスと三田キャンパスをつなぐ長さ$20km$の道路があるとします．$\mathrm{K}$教授と$\mathrm{O}$教授は同時刻に日吉キャンパスを出発します．$\mathrm{K}$教授は自転車に乗って$10km/\text{時}$の速さで三田キャンパスまで行きます．$\mathrm{O}$教授は次の$3$つの規則[ア]，[イ]，[ウ]に従って日吉キャンパスと三田キャンパスを自動車で$1$回往復します．

• [ア]　日吉キャンパスを出発して三田キャンパスに着いたら$1$時間三田キャンパスで仕事をして，その後日吉キャンパスへ帰ります．
• [イ]　日吉キャンパスを出発して三田キャンパスでの$1$時間の仕事を含めてちょうど$2$時間後に日吉キャンパスに戻ります．
• [ウ]　行きと帰りの速さは異なってもかまいませんが，行きの速さ，帰りの早さはそれぞれ一定で，$60km/\text{時}$以下とします．

　日吉キャンパスを出発してから$t$時間後に$\mathrm{K}$教授は日吉キャンパスへ帰る$\mathrm{O}$教授とすれ違ったものとします．

(1)　$\mathrm{O}$教授が日吉キャンパスを出発してから$T$時間後に三田キャンパスに着くとして，$t$を$T$を用いて表してください．

(2)　$t$のとりうる値の範囲を求めてください．