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2005 慶応義塾大学 総合政策学部

2月19日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 設問(ⅰ),(ⅱ)の最後の命題はその前にある複数の命題から導くことができるか?もしそうなら解答欄に 1 を,そうでないなら 0 を記入せよ.

(ⅰ)

1)  K 君は非論理的だ.

2) ワニを操れるものは軽んじられることはない.

3) 非論理的なものは軽んじられる.

4)  K 君はワニを操ることはできない.   解答欄: (1)

(ⅱ)

1)  12 歳未満の子はみな寮生である.

2) 勤勉な子はどの子も赤毛である.

3) 通いの子はどの子もギリシャ語を履修しない.

4)  12 歳以上のどの子も勤勉でない.

5) 赤毛でない子はどの子もギリシャ語を履修しない.     解答欄: (2)

2005 慶応義塾大学 総合政策学部

2月19日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2)  P 氏は N 頭のらくだを 3 人の息子で分けるように遺言して亡くなった.その遺言によれば N x 分の 1 y 分の 1 z 分の 1 x y z は自然数で x> y>z とする)が息子達の相続するらくだの数である.ただし, N x y z のいずれの倍数でもない. 1 x+1 y+1 z=1 でないので, 3 人が悩んでいると,通りがかりの旅人がよい工夫を思い付いた.旅人のらくだ 1 頭を加え N+ 1 を遺言の率に従って分割すれば,うまく分割でき, 1 頭余る.したがって旅人はなんの損得も受けないという案である. 3 人は喜んでこの提案を受け入れた.たとえば, N=11 (x ,y,z )=(6 ,4,2 ) はこの場合である.さて,ほかにどのような N の値があり得るか. 12 以上の N を小さい順に並べると

N= (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

である.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【2】

(1) 二次曲線 y= -x( x-4) と直線 y= ax y=b x 0 <a<b <4 がある.この 2 直線により,二次曲線と x 軸で囲まれる部分は 3 つの部分に分割される.この 3 つの部分の面積が等しいとき

(4- b)3 = (11) (12) (13) (14) (4- a)3 = (15) (16) (17) (18)

である.



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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【2】 底の半径 r 高さ h の直円錐が与えられている.この中に含まれる直円柱で,直円錐と同じ軸をもつものを考え,その底の半径を x とする.このような直円柱で体積が最大のものは x= (19) (20) r で,その体積は

(21) πr2 h (22) (23)

である.また直円柱の表面積が最大のものは x= r h (24) (h -r) で,その表面積は

π h2 r (25) ( h-r)

である.ただし, x=r のときは直円柱とはみなさない.

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2月19日実施

【3-2】との選択

易□ 並□ 難□

【3-1】  α を任意の実数とし

z= (1+i )+(1 -i) α(1 -i)+ (1+i )α

で表される複素数の集合を求める. |z| = (27) である. 1-i α の偏角を φ とする.ただし, -180° φ<180 ° とする.このとき z の偏角 θ (28) φ+ (29) (30) (31) ° である.ただし, 0° (29) (30) (31) ° <360° とする. α が実数であることから, φ

- (32) (33) ° <φ< (34) (35) (36) °

と制限される.したがって

- (37) (38) < θ< (39) (40) (41) °

となる.よって求める集合は単位円から点 cos (42) (43) (44) °-i sin (42) (43) (44) ° を除いたものである.ただし, 0° (42) (43) (44) ° <360° とする.

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2月19日実施

【3-1】との選択

易□ 並□ 難□

【3-2】 スポーツの人気度を測るために次のようなアンケート調査を行った.



アンケートの質問:次にあげるスポーツの中に,あなたが好きなスポーツがありますか?あれば好きな順に 3 つまで選んでその番号を回答欄に記入してください.

アンケートの回答欄:

 スポーツの人気度を決めるために,各回答について

を与え,すべての回答で合計した.ただし,空欄は 0 得点とした.合計得点が大きいほど人気のあるスポーツと考える.

 以下のプログラムは 5 人にアンケート調査を行い,その回答にもとづいて各スポーツの合計得点を求めるものである. 5 人の調査結果は, 30 行〜 34 行の DATA に与えられている.たとえば

DATA 4,5,2

の解答者はラグビー,陸上競技,サッカーの順に好きである. 17 行の READ 30 行〜 34 行の DATA を順に読み取る命令である.解答欄に当てはまる最も適切な数字を答えなさい.ただし, (45) には当てはまる最小の数を答えなさい.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【4】 ある国には A B C D E 5 つの政党がある.選挙に際して各政党は共闘を模索するが,その場合の数を考えてみよう.ただし, E 党は A 党とも B 党とも共闘しない.また共闘は次のように解釈する. X 党は X 党自身と共闘であり, X 党が Y 党と共闘し, Y 党が Z 党と共闘すれば, Y 党は Z 党とも共闘である.

このような状況でどれだけの共闘のパターンがあるか数え上げてみる.

  E 党が単独で選挙戦に臨んだとき,残り 4 党の共闘のパターンは (51) (52) 通りである. E 党が C 党とだけ共闘した場合は (53) (54) 通りであり, E 党が D 党とだけ共闘した場合は (55) (56) 通りである.また E 党が C 党と D 党と共闘した場合は (57) (58) 通りである.したがって選挙戦におけるすべての共闘パターンは (59) (60) 通りである.

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2月19日実施

易□ 並□ 難□

【5】 選択肢から最も適切なものを選びその番号を解答欄に記入しなさい.

 相違なる自然数 a b 1 以外に共通の約数をもたないとき, a b は互いに素であるという.自然数 n を素数 p で割った余りを M p( n) で表すことにする.また p- 1 以下の自然数 x y に対して, xy =Mp (x y) と演算 を定義する.ただし右辺の x y は通常の積である.たとえば, M11 (6 × (61) )= 2 である.この演算 は交換法則 (62) (63) や結合法則 (64) (65) を満たす.ここで x y z p- 1 以下の自然数である.

 次の命題はフェルマーの小定理とよばれている.

命題 自然数 a と素数 p が互いに素ならば a p-1 p で割った余りは 1 である.

 この命題を証明しよう.上の記号を用いれば M p( (66) ) = (67) を示せばよい.以下, Mp の添字 p は省略する. x y p- 1 以下の自然数とする. M( ax) =M( ay) ならば a (x-y ) (68) (69) (70) (71) となる.よって x= y でなくてはならない.この (72) (73) を考えれば, (74) (75) ならば (76) (77) である.このことから

M(1 a) M( 2a) M ((p- 1)a )

は異なった自然数である.よって

M(1 a) M(2 a) M ((p -1) a)=1 2 (78) (79)

となる.一方, M の性質を使えば

M(1 a) M(2 a) M ((p -1) a)=M ( (80) ) 12 (81) (82)

となる. xy= y のとき, x= (83) となることに注意すれば, M( (66) )= (67) を得る.

[選択肢]

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